微积分题目 微积分题目？

\u5fae\u79ef\u5206\u9898\u76ee

\u89e3\uff1a1\u3002\u2235dy/dx=(xy2-cosxsinx)/(y(1-x2)) ==>y(1-x2)dy=(xy2-cosxsinx)dx ==>y(1-x2)dy-xy2dx+cosxsinxdx=0 ==>(1-x2)d(y2)-y2d(x2)+sin(2x)dx=0 ==>2(1-x2)d(y2)+2y2d(1-x2)+sin(2x)d(2x)=0 ==>2d(y2(1-x2))+sin(2x)d(2x)=0 ==>2y2(1-x2)-cos(2x)=C (C\u662f\u79ef\u5206\u5e38\u6570) \u2234\u539f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u662f2y2(1-x2)-cos(2x)=C (C\u662f\u79ef\u5206\u5e38\u6570) \u2235 y(0)=2 \u22348-1=C ==>C=7 \u6545\u6ee1\u8db3\u521d\u59cb\u6761\u4ef6\u7684\u7279\u89e3\u662f2y2(1-x2)-cos(2x)=7\uff1b 2\u3002\u2235xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0 ==>xy^4dx+2x2y^3dy+3y^5dy-20y3dy=0 (\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u4e58y^3) ==>y^4d(x2)/2+x2d(y^4)/2+d(y^6)/2-5d(y^4)=0 ==>d(x2y^4)+d(y^6)-10d(y^4)=0 \u2234\u539f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u662fx2y^4+y^6-10y^4=C (C\u662f\u79ef\u5206\u5e38\u6570) \u2235y(0)=1 \u22341-10=C ==>C=-9 \u6545\u6ee1\u8db3\u521d\u59cb\u6761\u4ef6\u7684\u7279\u89e3\u662fx2y^4+y^6-10y^4=-9\uff1b 3\u3002\u8bbez=-2x+y\uff0c\u5219dy/dx=dz/dx+2 \u4ee3\u5165\u539f\u65b9\u7a0b\u5f97dz/dx+2=z2-7 ==>dz/dx=z2-9 ==>dz/(z2-9)=dx ==>[1/(z-3)-1/(z+3)]dz=6dx ==>ln\u2502z-3\u2502-ln\u2502z+3\u2502=6x+ln\u2502C\u2502 (C\u662f\u79ef\u5206\u5e38\u6570) ==>ln\u2502(z-3)/(z+3)\u2502=6x+ln\u2502C\u2502 ==>(z-3)/(z+3)=Ce^(6x) ==>(y-2x-3)/(y-2x+3)=Ce^(6x) \u2234\u539f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u662f(y-2x-3)/(y-2x+3)=Ce^(6x) \u2235y(0)=0 \u2234-3/3=C ==>C=-1 \u6545\u6ee1\u8db3\u521d\u59cb\u6761\u4ef6\u7684\u7279\u89e3\u662f(y-2x-3)/(y-2x+3)=-e^(6x)\u3002

\u8fd9\u9898\u662f\u6709\u4e24\u4e2a\u683c\u62c9\u6717\u65e5\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u7684\uff0c\u5de6\u53f3\u540c\u9664\u4ee5(b-a)\uff0c\u5de6\u8fb9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230[f(b)-f(a)]/(b-a)\uff0c\u8fd9\u662ff(x)\u7684\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\uff0c\u53f3\u8fb9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230(b^2-a^2)/(b-a)\uff0c\u8fd9\u662fx^2\u7684\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\uff0c\u5b83\u7684\u5bfc\u6570\u6b63\u597d\u662f2x\uff0c\u5f97\u6b63\u597dx^2\u548cf(x)\u7684\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u70b9\u4e00\u6837\uff0c\u624d\u80fd\u5f97\u5230\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\uff0c\u800c\u6761\u4ef6\u4e2d\u6839\u672c\u65e0\u6cd5\u786e\u5b9a\u5b83\u4eec\u7684\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u70b9\u4e00\u81f4\uff0c\u6240\u4ee5\u662f\u9519\u9898\u3002

4。证明：作函数F(x，y)=y²-xy-2=0
令dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=(-y)/(2y-x)=0，解得y=0，代入原方程得2=0，显然，这是荒谬的，即
原方程没有极值点，也就是没有使一阶导数为零的点。
7。(b).求不定积分∫dx/[(1+x)(1+x²)]
解：原式=(1/2)∫[1/(1+x)+(1-x)/(1+x²)]dx=(1/2)[∫dx/(1+x)+∫dx/(1+x²)-∫xdx/(1+x²)]
=(1/2)[∫d(1+x)/(1+x)+arctanx-(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²)]
=(1/2)ln∣1+x∣+arctanx-(1/4)ln(1+x²)+C
(c)求定积分【3，6】∫{[√(x²-9)]/x}dx
解：原式=【3，6】∫√[1-(3/x)²]dx，令3/x=sinu，则x=3/sinu，dx=-cosudu/sin²u；x=3时u=π/2；
x=6时u=π/6；代入原式得：原式=【π/2，π/6】-∫[√(1-sin²u)]cosudu/(sin²u)
=【π/2，π/6】-∫(cos²u/sin²u)du=【π/2，π/6】∫[(sin²u-1)/sin²u]du=【π/2，π/6】[∫du-∫du/sin²u]
=[u+cotu]【π/2，π/6】=π/6+√3-(π/2)=(√3)-π/3.
(d)求广义积分【0，+∞】∫dx/(x²+2x+2)
解：原式=【0，+∞】∫dx/[(x+1)²+1]=【0，+∞】∫d(x+1)/[(x+1)²+1]=[arctan(x+1)]【0，+∞】
=π/2-π/4=π/4.
9。(a)证明∫cosⁿxdx=(1/n)cosⁿ⁻¹xsinx+[(n-1)/n]∫cosⁿ⁻²xdx(n≧2)
证明：∫cosⁿxdx=∫cosⁿ⁻¹xd(sinx)=(cosⁿ⁻¹x)sinx-∫sinxd(cosⁿ⁻¹x)=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫[cosⁿ⁻²xsin²xdx]
=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫[cosⁿ⁻²x(1-cos²x)dx=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫cosⁿ⁻²xdx-(n-1)∫cosⁿxdx
移项得∫cosⁿxdx+(n-1)∫cosⁿxdx=n∫cosⁿxdx=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫cosⁿ⁻²xdx
故得∫cosⁿxdx=(1/n)(cosⁿ⁻¹x)sinx+[(n-1)/n]∫cosⁿ⁻²xdx(n≧2).
(b)∫cos⁴xdx=(1/4)cos³x+(2/3)∫cos²xdx=(1/4)cos³x+(2/3)[cosxsinx+(1/2)x]+C
=(1/4)cos³x+(1/3)sin2x+(1/3)x+C
(c)【0，π/2】∫cos⁷xdx
∫cos⁷xdx=(1/7)cos⁶xsinx+(6/7)∫cos⁵xdx=(1/7)cos⁶xsinx+(6/7)[(1/5)cos⁴xsinx+(4/5)∫cos³xdx]

=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(24/35)∫cos³xdx
=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(24/35)[(1/3)cos²xsinx+(2/3)∫cosxdx]
=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(8/35)cos²xsinx+(48/105)sinx
故【0，π/2】∫cos⁷xdx=[(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(8/35)cos²xsinx+(48/105)sinx]【0，π/2】=48/105
10。解微分方程dy/dx-2y=[e^(2x)]sinx
解：先求齐次方程dy/dx-2y=0的通解：分离变量得dy/y=2dx；积分之得lny=2x+lnC；
故得y=e^(2x+lnC)=[e^(2x)e^(lnC)=Ce^(2x)
用参数变易法：将任意常数改成x的函数u，于是得y=ue^(2x)..........(1)；
对x取导数得dy/dx=[e^(2x)]du/dx+2ue^(2x)..........(2)
将(1)和(2)代入原式得：[e^(2x)]du/dx+2ue^(2x)-2ue^(2x)=[e^(2x)]sinx
化简得[e^(2x)]du/dx=[e^(2x)]sinx
于是得du=sinxdx；再积分之便得u=-cosx+C，代入(1)式即得通解为：y=(C-cosx)e^(2x).
11。证明当x>1时，不等式lnx>2(x-1)/(x+1)恒成立
证明：令f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)，当x>1时：
由于f'(x)=(1/x)-[2(x+1)-2(x-1)]/(x+1)²=(1/x)-4/(x+1)²=[(x+1)²-4x]/[x(x+1)²=(x-1)²/(x+1)²>0
故f(x)在x>1时是单调增加的函数，而f(1)=0，故当x>1时必有f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)>0；即原命
题成立。
【为什么不能用[(x+1)/2(x-1)]lnx>1算?不是不能用，而是不好用！】

这题本来就要利用x=1时，左边=右边=0
设f是两个函数的差，证明导数>0

你可以设f(x)=lnx g(x)=2(x-1)/(x+1) 我们知道lnx是单调递增，x=1时很显然二者都为0，那比较他们的导数即可。f的导数1/x g的导数4/(x+1)² f导数减去g的导数，通分，得(x-1)²/x(x+1)²由于x大于1，所以导数差必然大于0，也就是说f 增得比g快，所以f大于g

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绛旓細2x+12y+8位x=0 鈶 12x+4y+2位y=0 鈶 4x²+y²-25=0 鈶 瑙ｏ細鈶犆2寰 x+6y+4位x=0 鈶 鈶∶2寰 6x+2y+位y=0 鈶 鈶ぢ4x-鈶Ｂ穣 寰 24x²+7xy-6y²=0锛屽垎瑙ｅ洜寮忓緱 (3x+2y)(8x-3y)=0锛屾墍浠 2y=-3x 鈶 鎴 3y=8x 鈶 鎶娾懃浠ｅ叆(鈶⒙4)...

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绛旓細瑙佸浘鐗囷紝姣忛杩囩▼閮藉緢璇︾粏銆傜偣鍑诲彲浠ョ湅澶у浘銆傝繕鏈変粈涔堜笉鏄庣櫧鐨勫湴鏂瑰彲浠ョ粰鎴戠暀瑷銆

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绛旓細(1)鈭(0->3) 鈭(x+1)dx =(2/3)(x+1)^(3/2)|(0->3)=(2/3)(8-1)=14/3 ans : C (2)f(x) =x(cosx)^3/(x^2+1)f(-x) =-f(x)=> 鈭(-5->5) x(cosx)^3/(x^2+1) dx =0 ans :D (3)y=鈭(3->x^2) tf(t^2) dt y'=x^2.f(x^4) .(x^2)...