怎么证明矩阵谱范数满足||A|| 证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征...
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d||A||\u600e\u4e48\u7b97L0\u8303\u6570\uff1a
L1\u8303\u6570\uff1a
L2\u8303\u6570\uff1a
\u5e38\u7528\u7684\u4e09\u79cdp-\u8303\u6570\u8bf1\u5bfc\u51fa\u7684\u77e9\u9635\u8303\u6570\u662f\uff1a
1-\u8303\u6570\uff1a\u2551A\u25511 = max{ \u2211|ai1|, \u2211|ai2| ,\u2026\u2026 ,\u2211|ain| } (\u5217\u548c\u8303\u6570\uff0cA\u6bcf\u4e00\u5217\u5143\u7d20\u7edd\u5bf9\u503c\u4e4b\u548c\u7684\u6700\u5927\u503c)\u3000(\u5176\u4e2d\u2211|ai1|\u7b2c\u4e00\u5217\u5143\u7d20\u7edd\u5bf9\u503c\u7684\u548c\u2211|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,\u5176\u4f59\u7c7b\u4f3c)\uff1b
2-\u8303\u6570\uff1a\u2551A\u25512 = A\u7684\u6700\u5927\u5947\u5f02\u503c = ( max{ \u03bbi(A^H*A) } ) ^{1/2} (\u6b27\u51e0\u91cc\u5fb7\u8303\u6570,\u8c31\u8303\u6570,\u5373A^H*A\u7279\u5f81\u503c\u03bbi\u4e2d\u6700\u5927\u8005\u03bb1\u7684\u5e73\u65b9\u6839\uff0c\u5176\u4e2dA^H\u4e3aA\u7684\u8f6c\u7f6e\u5171\u8f6d\u77e9\u9635)\uff1b
\u221e-\u8303\u6570\uff1a\u2551A\u2551\u221e = max{ \u2211|a1j|, \u2211|a2j| ,..., \u2211|amj| } (\u884c\u548c\u8303\u6570\uff0cA\u6bcf\u4e00\u884c\u5143\u7d20\u7edd\u5bf9\u503c\u4e4b\u548c\u7684\u6700\u5927\u503c)\u3000(\u5176\u4e2d\u4e3a\u2211|a1j| \u7b2c\u4e00\u884c\u5143\u7d20\u7edd\u5bf9\u503c\u7684\u548c\uff0c\u5176\u4f59\u7c7b\u4f3c)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e00\u822c\u6765\u8bb2\u77e9\u9635\u8303\u6570\u9664\u4e86\u6b63\u5b9a\u6027\uff0c\u9f50\u6b21\u6027\u548c\u4e09\u89d2\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e4b\u5916\uff0c\u8fd8\u89c4\u5b9a\u5176\u5fc5\u987b\u6ee1\u8db3\u76f8\u5bb9\u6027\uff1a\u2551XY\u2551\u2264\u2551X\u2551\u2551Y\u2551\u3002\u6240\u4ee5\u77e9\u9635\u8303\u6570\u901a\u5e38\u4e5f\u79f0\u4e3a\u76f8\u5bb9\u8303\u6570\u3002\u3000
\u5982\u679c\u2551\u00b7\u2551\u03b1\u662f\u76f8\u5bb9\u8303\u6570\uff0c\u4e14\u4efb\u4f55\u6ee1\u8db3\u2551\u00b7\u2551\u03b2\u2264\u2551\u00b7\u2551\u03b1\u7684\u8303\u6570\u2551\u00b7\u2551\u03b2\u90fd\u4e0d\u662f\u76f8\u5bb9\u8303\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u2551\u00b7\u2551\u03b1\u79f0\u4e3a\u6781\u5c0f\u8303\u6570\u3002\u5bf9\u4e8en\u9636\u5b9e\u65b9\u9635(\u6216\u590d\u65b9\u9635)\u5168\u4f53\u4e0a\u7684\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u8303\u6570\u2551\u00b7\u2551\uff0c\u603b\u5b58\u5728\u552f\u4e00\u7684\u5b9e\u6570k>0\uff0c\u4f7f\u5f97k\u2551\u00b7\u2551\u662f\u6781\u5c0f\u8303\u6570\u3002
\u6ce8\uff1a\u5982\u679c\u4e0d\u8003\u8651\u76f8\u5bb9\u6027\uff0c\u90a3\u4e48\u77e9\u9635\u8303\u6570\u548c\u5411\u91cf\u8303\u6570\u5c31\u6ca1\u6709\u533a\u522b\uff0c\u56e0\u4e3am*n\u77e9\u9635\u5168\u4f53\u548cm*n\u7ef4\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u540c\u6784\u3002\u5f15\u5165\u76f8\u5bb9\u6027\u4e3b\u8981\u662f\u4e3a\u4e86\u4fdd\u6301\u77e9\u9635\u4f5c\u4e3a\u7ebf\u6027\u7b97\u5b50\u7684\u7279\u5f81\uff0c\u8fd9\u4e00\u70b9\u548c\u7b97\u5b50\u8303\u6570\u7684\u76f8\u5bb9\u6027\u4e00\u81f4\uff0c\u5e76\u4e14\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230Mincowski\u5b9a\u7406\u4ee5\u5916\u7684\u4fe1\u606f\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u77e9\u9635\u8303\u6570
\u8fd9\u4e2a\u8bc1\u660e\u6709\u79cd\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u7684\u60f3\u6cd5.
\u5047\u5982\u5728n\u7ef4\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u4e0a\u7684\u67d0\u79cd\u8303\u6570\u2016\u2016\u4e0b\u6211\u4eec\u8bc1\u660e\u4e86\u2016AX\u2016<\u2016X\u2016\u5bf9\u4efb\u610f\u975e\u96f6\u5411\u91cfX\u6210\u7acb.
\u5219\u5bf9\u4efb\u610f\u7279\u5f81\u503c\u03bb, \u5b58\u5728\u5c5e\u4e8e\u03bb\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cfX, \u5373\u6709AX = \u03bbX (\u4e25\u683c\u6765\u8bf4\u8fd9\u91cc\u6709\u70b9\u95ee\u9898, \u540e\u9762\u518d\u8bf4).
\u4ee3\u5165\u5f97\u2016X\u2016>\u2016AX\u2016=\u2016\u03bbX\u2016=|\u03bb|\u2016X\u2016, \u4e8e\u662f\u5c31\u80fd\u8bc1\u660e\u6240\u8981\u7684|\u03bb|<1.
\u5bf9\u672c\u9898\u6765\u8bf4, \u8303\u6570\u2016\u2016\u53ef\u53d6\u4e3amax{|x_k|}, \u5373\u5404\u5206\u91cf\u7edd\u5bf9\u503c\u7684\u6700\u5927\u503c, \u5f97\u5230\u5982\u4e0b\u8bc1\u660e.
\u5bf9\u975e\u96f6\u5411\u91cfX, \u5411\u91cfY=AX\u6709y_i=a_i1*x_1+a_i2*x_2+...+a_in*x_n.
|y_i|\u2264|a_i1|*|x_1|+|a_i2|*|x_2|+...+|a_in|*|x_n|\u2264(|a_i1|+|a_i2|+...+|a_in|)*max{|x_k|}\u4e8e\u662fmax{|y_k|}<max{|x_k|}. \u8be5\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5bf9\u6240\u6709\u975e\u96f6\u590d\u5411\u91cf\u90fd\u6210\u7acb.\u5bf9A\u7684\u4efb\u610f\u7279\u5f81\u503c\u03bb, \u5b58\u5728\u590d\u7279\u5f81\u5411\u91cfX\u22600, \u6ee1\u8db3AX=\u03bbX.
\u7531\u4e0a\u8ff0\u4e0d\u7b49\u5f0f, |\u03bb|*max{|x_k|}=max{|\u03bb*x_k|}<max{|x_k|}, \u4e8e\u662f|\u03bb|\u6211\u4eec\u8bc1\u660e\u7684\u7ed3\u8bba\u4e2dA\u53ef\u4ee5\u662f\u590d\u77e9\u9635, \u7279\u5f81\u503c\u4e5f\u5305\u542b\u6240\u6709\u590d\u7279\u5f81\u503c.
\u5f53\u8ba8\u8bba\u7684\u662f\u5b9e\u77e9\u9635\u7684\u590d\u7279\u5f81\u503c\u65f6, \u9700\u8981\u5230\u590d\u6570\u57df\u91cc\u627e\u7279\u5f81\u5411\u91cf.
\u8fd9\u5c31\u662f\u524d\u9762\u8bf4\u5230\u7684\u95ee\u9898, \u4f46\u662f\u6211\u4eec\u7684\u8303\u6570\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5bf9\u590d\u5411\u91cf\u4e5f\u9002\u7528, \u56e0\u6b64\u4e0d\u5f71\u54cd\u5f97\u5230\u7ed3\u679c.
1. 首先证明对于任意的x和y，必存在某个酉矩阵Q满足，y = Q * x。
证明：将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X = [x, x2, ... , xn]和Y = [y, y2, ..., yn]，那么X和Y必然等价，即存在酉矩阵Q满足Y = Q * X，取第一列可得y = Q * x。
2. 再证：||P * A * Q||2 = ||A||2，其中P和Q都是Cn上的酉阵。这其实是矩阵2范数的一个常用性质。
证明：||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3. 由1知，对于任意的单位2范数向量y和x，存在酉阵Q满足：Q' * Q = I，y = Q * x，而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2，由2知||Q' * A||2 = ||A||2，证毕！
绛旓細鑼冩暟杩愮畻 鑼冩暟鐨勮繍绠楁柟娉曟槸浜哄畾鐨勶紝甯哥敤鐨勬湁鐭╅樀1鑼冩暟锛岀煩闃2鑼冩暟锛岀畻瀛1鑼冩暟锛岀畻瀛2鑼冩暟绛夈傚悇鏈夊悇鐨勭畻娉曘傛瑙勪竴鐐圭殑鏂囩珷锛岀敤涔嬪墠浼氬憡璇変綘鏄粈涔堣寖鏁帮紝骞朵笖绗﹀彿涓婁細鍐欐竻妤氾紝姣斿鐭╅樀1鑼冩暟锛屼細鍦||A||鐨勫彸涓嬭鍔犱竴涓皬鐨1 濡傛灉鍟ラ兘娌″啓鐨勮瘽锛屼綘璇曡瘯鎵鏈夊厓绱犵殑骞虫柟鍜岋紝鎴栬呮墍鏈夊厓绱犵殑缁濆鍊间箣鍜岋紝...
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绛旓細浣犻鍏堣鐭ラ亾鍏充簬鍚戦噺鑼冩暟鏈 ||x||_oo <= ||x||_2 <= n^{1/2} ||x||_oo 1.鎶||A||_2鍜寍|A||_F閮界敤A鐨勫寮傚艰〃绀猴紝鐒跺悗鐢ㄤ笂闈㈢殑寮曠悊 2.鍏堝彇闈為浂鍚戦噺x婊¤冻||x||_oo=||Ax||_oo鍙互楠岃瘉鍙崇 鍐嶅彇闈為浂鍚戦噺x婊¤冻||x||_2=||Ax||_2鍙互楠岃瘉宸︾ 鍦ㄤ笉绛夊紡鏀剧缉鐨勬椂鍊欓兘...
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绛旓細鐭╅樀鐨勭畻瀛鑼冩暟,鏄敱鍚戦噺鑼冩暟瀵煎嚭鐨,鐢卞舰寮忓彲浠ョ煡: 鐢辩煩闃电畻瀛愯寖鏁扮殑瀹氫箟褰㈠紡鍙煡,鐭╅樀A鎶婂悜閲弜鏄犲皠鎴愬悜閲廇x ,鍙栧叾鍦ㄥ悜閲弜鑼冩暟涓1鎵鏋勬垚鐨勯棴闆嗕笅鐨勫悜閲廇x鑼冩暟鏈澶у间綔涓虹煩闃礎鐨勮寖鏁,鍗崇煩闃靛鍚戦噺缂╂斁鐨勬瘮渚嬬殑涓婄晫,鐭╅樀鐨勭畻瀛愯寖鏁版槸鐩稿鐨勩傜敱鍑犱綍鎰忎箟鍙煡,鐭╅樀鐨勭畻瀛愯寖鏁板繀鐒跺ぇ浜庣瓑浜鐭╅樀璋鍗婂緞(鏈澶х壒寰佸肩殑缁濆...
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