如何判断曲率是正还是负？
①知识点定义来源&讲解：
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，它可以用来判断曲线在某一点的凹凸性质。曲率的正负判定可以通过求取曲线的曲率来进行。
在微积分中，曲线的曲率可以通过求取曲线的二阶导数来计算。具体来说，对于参数方程表示的曲线（x(t), y(t)），其曲率公式为：
k = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)| / [(x'(t)^2 + y'(t)^2)^(3/2)]
其中，x'(t) 和 y'(t) 分别表示曲线在参数 t 处的横坐标和纵坐标的一阶导数；x''(t) 和 y''(t) 分别表示曲线在参数 t 处的横坐标和纵坐标的二阶导数。曲率的正负可以根据曲率公式中的分子部分来进行判定。
②知识点运用：
曲率正负的判定在几何学和物理学等领域中广泛应用。它可以帮助我们判断曲线在某一点的凹凸性质，例如确定函数图像中的极大值和极小值点、分析曲线的形态和性质等。
在工程学和机械学中，曲率正负的判定也常用于分析和设计曲线形状，比如道路设计、管道弯曲和机械零件等。通过正确判定曲率的正负，可以确保曲线的合理设计和应用。
③知识点例题讲解：
解析：首先，我们需要计算曲线的一阶导数和二阶导数。对 y = x^2 求导，得到：
y' = 2x
y'' = 2
将一阶导数和二阶导数代入曲率公式，我们可以得到：
k = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)| / [(x'(t)^2 + y'(t)^2)^(3/2)]
= |2x * 2 - 2 * x| / [(4x^2 + 4)^(3/2)]
= |4x - 2x| / [2(2x^2 + 1)^(3/2)]
= 2x / [2(2x^2 + 1)^(3/2)]
= x / [(2x^2 + 1)^(3/2)]
由此可见，曲线 y = x^2 的曲率是一个关于 x 的函数，即 k(x) = x / [(2x^2 + 1)^(3/2)]。
我们可以观察函数 k(x) 的正负情况来判断曲线 y = x^2 在不同点处的曲率正负。一般来说，当 x > 0 时，k(x) > 0，此时曲线凸向上；当 x < 0 时，k(x) < 0，此时曲线凸向下。当 x = 0 时，k(x) = 0，此时曲线处于拐点。所以，曲线 y = x^2 在 x > 0 时具有正曲率，在 x < 0 时具有负曲率。
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