求助，曲线积分题详细讲解
\u6c42\u8fd9\u4e2a\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u9898\u7684\u8be6\u7ec6\u89e3\u7b54\u8bbeP=xr^k/y\uff0cQ=-x^2r^k/y^2
\u6c42\u504f\u5bfc\u6570
Q'x=(-1/y^2)(2xr^k+x^2 *kr^(k-1) *x/r)=(-xr^(k-2)/y^2)(2r^2+kx^2)
P'y= -xr^k/y^2+(x/y) *kr^(k-1) *(y/r)=(-xr^(k-2)/y^2)(r^2-ky^2)
\u6839\u636e\u683c\u6797\u516c\u5f0f\uff0c\u4e0e\u79ef\u5206\u8def\u5f84\u65e0\u5173\uff0c\u6ee1\u8db3Q'x=P'y]
\u5373(-xr^(k-2)/y^2)(2r^2+kx^2)=(-xr^(k-2)/y^2)(r^2-ky^2)
2r^2+kx^2=r^2-ky^2
\u6240\u4ee5r^2+k(x^2+y^2)=0
\u5373(k+1)(x^2+y^2)=0
\u6240\u4ee5k= -1
\u4e0b\u9762\u6c42\u79ef\u5206\u503c\u3002
\u4ee5\u4e3a\u79ef\u5206\u4e0e\u8def\u5f84\u65e0\u5173\uff0c\u53ef\u4ee5\u9009\u62e9\u6298\u7ebf(1,2)->(2,2)->(2,3)
\u5728(1,2)->(2,2)\u4e0a\uff0cy=2\uff0cdy=0
\u5728(2,2)->(2,3)\u4e0a\uff0cx=2\uff0cdx=0
\u539f\u79ef\u5206=\u222b(1->2) x/[2\u221a(4+x^2)] dx+\u222b(2->3) 4/[y^2\u221a(4+y^2)] dy
=\u221a2-(\u221a5/2)+2\u221a17-(4\u221a37/3)
\u6ce8\uff1a
\u6c42\u222b(1->2) x/[2\u221a(4+x^2)] dx
=\u222b(1->2) x/[2\u221a(4+x^2)] dx=\u222b(1->2) d(x^2)/[4\u221a(4+x^2)]=(1/2)\u221a(4+x^2) |(1->2)=\u221a2-(\u221a5/2)
\u6c42\u222b(2->3) 4/[y^2\u221a(4+y^2)] dy\u7684\u662f\u65f6\u5019\uff0c\u7528\u6362\u5143\u6cd5\uff0c\u4ee4y=1/t
(1)
曲线积分I=∫(L)(x^2-y^2)dx, L是y=x^2, y^2=x^4, x从0至 2
I=∫(0,2)(x^2-x^4)dx (x的2端点的值=0,2; y已经被改写为x^2，所以不需要担心y的2端点的值)
=[x^3/3 -x^5/5] (x=0,2)
=(8/3-0)-(32/5-0) (∵x^3=2^3=8, x^5=2^5=32)
=(40-96)/15=-56/15
(2)
L首先分为2部分,(0,0)至(1,0);(1,0)至(1,1)
首部分积分
∫(0,0) xdy-∫(0,1)(x^2-y^2)ydx
=0-∫(0,1)(x^2-0^2)*0dx (首项积分原始点=最终点,∴首项积分=0; 在第二项积分中y=0)
=0
第二部分积分
∫(0,1) xdy-∫(1,1)(x^2-y^2)ydx
=∫(0,1) dy -0 (在首项积分中x=1, 在第二项积分中,原始点=最终点,∴第二项积分=0)
=1-0=1
对L的总积分=首部分积分+第二部分积分=1
积分就是求和
第一题是沿着曲线
对一个标量求和
(积分L)(x^2-y^2)dx
=(积分L)(x^2-x^4)dx
=(积分0到2)(x^2-x^4)dx
=-(1/5)x^5+(1/3)x^3 (x=2带入 减去 x=0带入)
=8/3-32/5
=-56/15
第2题是沿着曲线
对一个向量求和。
因为你的题不是闭合曲线，所以用不到高斯散度定理。
你这道题分2段做，然后结果加起来。
积分L: Pdx+Qdy就是对一个平面上的一个变力(P,Q)沿着曲线L，加起来，就是做功。
(0,0)->(1,0) (yy-xx)ydx+xdy 这一段y一直是0，(yy-xx)y=0，在y方向上也没有位移，力不做功，功是0。
(1,0)->(1,1) (yy-1)ydx+1dy 这一段x一直是1，x方向力没有位移，x方向没有功，y方向力是1，位移是1，所以功是1。
总共就是1。
绛旓細棣栧厛绉垎鏇茬嚎鍏充簬yoz闈㈠拰xoz闈㈠潎瀵圭О锛岀敱浜 x 鍜 -y 鏄鍑芥暟锛屽洜姝ょН鍒嗙粨鏋滀负0.鏈鍙樹负锛氣埉z²ds 鍐嶇敱浜庣Н鍒嗘洸绾垮叧浜巟锛寉锛寊涓変釜鍙橀噺婊¤冻杞崲瀵圭О鎬э紝鍥犳鏈夛細鈭畓²ds=鈭畑²ds=鈭畒²ds 鍥犳锛氣埉z²ds =(1/3)(鈭畓²ds+鈭畑²ds+鈭畒²ds...
绛旓細鎶娤=鈭2sin胃浠ｅ叆蟻^2=cos2胃寰 2sin^胃=1-2sin^胃,sin^胃=1/4,鍙杝in胃=1/2,胃=蟺/6銆傜敱瀵圭О鎬э紝鎵姹傞潰绉=2{鈭<0,蟺/6>d胃鈭<0,鈭2sin胃>蟻d蟻+鈭<蟺/6锛屜/4>d胃鈭<0,鈭歝os2胃>蟻d蟻} ={鈭<0,蟺/6>(1-cos2胃)d胃+鈭<蟺/6锛屜/4>cos2胃d胃} =[胃-...
绛旓細浣犲ソ 杩欓亾棰樺睘浜庣浜岀被鏇茬嚎绉垎 骞朵笖鍙互浣跨敤鏍兼灄鍏紡 棣栧厛L鏂瑰悜涓烘鍚 鐒跺悗琛ュ厖鐩寸嚎浣垮浘褰㈠皝闂 涔嬪悗鍒嗘姹傝В鍗冲彲 绛旀濡傚浘 鏈涢噰绾
绛旓細鍒嗘瀽涓庢眰瑙ｈ繃绋嬪鍥炬墍绀
绛旓細鍦ㄦ暟瀛︿腑锛屾洸绾跨Н鍒鏄Н鍒嗙殑涓绉嶃傜Н鍒嗗嚱鏁扮殑鍙栧兼部鐨勪笉鏄尯闂达紝鑰屾槸鐗瑰畾鐨勬洸绾匡紝绉颁负绉垎璺緞銆傛洸绾跨Н鍒嗘湁寰堝绉嶇被锛屽綋绉垎璺緞涓洪棴鍚堟洸绾挎椂锛岀О涓虹幆璺Н鍒嗘垨鍥撮亾绉垎銆傛洸绾跨Н鍒嗗彲鍒嗕负锛氱涓绫绘洸绾跨Н鍒嗗拰绗簩绫绘洸绾跨Н鍒嗐傝L涓簒Oy骞抽潰涓婄殑涓鏉″厜婊戠殑绠鍗曟洸绾垮姬锛宖(x锛寉)鍦↙涓婃湁鐣岋紝鍦↙涓婁换鎰忔彃鍏...
绛旓細鏈涢噰绾
绛旓細鍥犱负鏇茬嚎L浣嶄簬鍦嗗懆涓婏紝鎵浠2+y2+z2=a2 鏁呪埆L(x2+y2+z2)ds=a2鈭獿ds=a^2*2PI*a=2PI*a^3
绛旓細鏂墭鍏嬫柉鍏紡灏辫兘璇佹槑锛(z,-2x,3y)鐨勬棆搴 x鍒嗛噺锛歞(3y)/dy-d(-2x)/dz=3 y鍒嗛噺锛歞(z)/dz-d(3y)/dx=1 z鍒嗛噺锛歞(-2x)/dx-d(z)/dy=-2 鎵浠ュ師绉垎=鈭埆 3dydz+dzdx-2dxdy锛岀Н鍒鍩熸槸C鍦ㄥ钩闈㈠唴鍖呭洿鐨勯儴鍒 鍥犱负C鍦ㄤ竴涓嚎鎬у钩闈㈠唴锛屾墍浠モ埆鈭 3dydz鍙拰闈㈢Н鏈夊叧锛屽悓鐞嗗彟澶栦袱椤逛篃鍙...
绛旓細鎵浠ヤ粎鑰冭檻绗竴璞￠檺锛屾渶鍚庣粨鏋滀箻浠4銆3銆佺涓璞￠檺锛0鈮は嗏墹蟺/2锛岀敱 r = a鈭(cos2蠁) 鈮0 寰楀埌 cos2蠁 鈮0锛岃В寰 0鈮は嗏墹蟺/4锛屼篃灏辨槸绉垎闄愩4銆佺涓璞￠檺 |y| = y = r*sin蠁 = a鈭(cos2蠁)*sin蠁锛屼篃灏辨槸浣犵敾鍦堢殑鍦版柟銆備互涓婁负姝ら鐨勫垎鏋愯繃绋嬶紝涓嶇煡鏄惁鐞嗚В銆
绛旓細鐢卞姬闀跨殑鍙傛暟鏂圭▼鍏紡鍙煡锛歋=鈭垰[锛坉x/dt锛塣2+(dy/dt)^2] dt 绉垎浠0鍒2蟺 鑰屽浜庢湰棰橈細dx/dt=a(1-cost),dy/dt=asint 甯﹀叆浠ヤ笂鐨勫舰寮忥紝鎵浠ュ彲鐭ュ姬闀夸负锛歋=鈭垰[a(1-cost)*[a^2(1-2cost+(cost)^2)+(asint)^2]] dt =a鈭歛鈭(2-2cost) dt =a鈭歛*(2t-2sint)|(0,2...
