求大神看一下这道排列组合 的证明题 第8题，三道排列组合公式方面的证明题，求详解

\u6709\u6ca1\u6709\u6570\u5b66\u5927\u795e\u554a\u3002\u3002\u4e00\u9053\u6392\u5217\u7ec4\u5408\u9898\uff0c\u6c42\u8be6\u89e3\u3002\u3002

\u4e00\u5171\u56db\u5341\u79cd
\u89e3\u9898\u601d\u8def\uff1a\u6a2a\u7740\u4e3a\u4e00\u5217\uff0c\u5171\u5206\u4e09\u5217\u3002\u4ece\u5de6\u5230\u53f3\u7f16\u53f7\uff0c\u5206\u522b\u662f123,456,7\u3002
\u4ece1\u5f00\u59cb\uff0c\u5171\u670920\u79cd\uff0c\u4e24\u7c7b\uff08\u4ece\u5de6\u5411\u53f3\u5c04\uff0c\u4ece\u53f3\u5411\u5de6\u5c04\uff09\u3002
\u5176\u4e2d\u7b2c\u4e00\u7c7b\u5171\u670910\u79cd\uff0c\u5206\u522b\u662f\uff1a\u4e00\uff1a123\uff1b456\uff1b7//\u4e8c\uff1a123\uff1b47\uff1b56//\u4e09\uff1a16\uff1b23\uff1b45\uff1b7//\u56db\uff1a16\uff1b43\uff1b2\uff1b5\uff1b7//\u4e94\uff1a16\uff1b42\uff1b3\uff1b5\uff1b7//\u516d\uff1a16\uff1b42\uff1b53\uff1b7//\u4e03\uff1a157\uff1b23\uff1b46\uff1b//\u516b\uff1a157\uff1b43\uff1b2\uff1b6//\u4e5d\uff1a157\uff1b42\uff1b3\uff1b6//\u5341\uff1a157\uff1b42\uff1b53\u3002\u7b2c\u4e8c\u7c7b\u79cd\u6570\u540c\u7b2c\u4e00\u7c7b\uff0c\u53ea\u4e0d\u8fc7\u662f\u6392\u5e8f\u53d8\u4e86\u4e00\u4e0b\u3002
\u7b97\u51fa\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u6784\uff0c\u6574\u7406\u4e00\u4e0b\u6846\u67b6\uff0c\u53d1\u73b0\u4e00\u5171\u6709\u4e24\u79cd\u53ef\u80fd\uff0c\u4e00\u7c7b\u662f\u6a2a\u5411\uff0c\u4e00\u7c7b\u662f\u7ad6\u5411\uff0c\u800c\u6a2a\u5411\u5171\u6709\u4e8c\u5341\u79cd\uff0c\u7ad6\u5411\u7b49\u540c\u4e8e\u6a2a\u5411\uff0c\u56e0\u6b64\u4e5f\u6709\u4e8c\u5341\u79cd\u3002
\u4e24\u79cd\u53ef\u80fd\u76f8\u52a0\uff0c\u56e0\u6b64\u5171\u670940\u79cd

1\u3001\u6392\u5217\u7684\u65f6\u5019\u4e3e\u4e2a\u4f8b\u5b50A\uff08\u4e0b\u89d2\u6807\u4e3an,\u4e0a\u89d2\u6807\u4e3ar\uff09\u3002\u610f\u601d\u662fn\u4e2a\u5143\u7d20\u4e2d\u53d6\u51far\u4e2a\u8fdb\u884c\u5168\u6392\u5217\u3002\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u7406\u89e3\u6709r\u4e2a\u7a7a\u7a74\u9700\u8981\u653e\u7740r\u4e2a\u5143\u7d20\u6709\u591a\u5c11\u79cd\u65b9\u6cd5\u3002\u7b2c\u4e00\u4e2a\u7a7a\u7a74\u6709n\u4e2a\u9009\u62e9\uff0c\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u7a7a\u7a74\u6709n-1\u4e2a\u9009\u62e9\uff0c\u6240\u4ee5\u6709n!/(n-r)!\u30022\u3001\u7ec4\u5408\u7684\u65f6\u5019\u4e3e\u4e2a\u4f8b\u5b50C\uff08\u4e0b\u89d2\u6807\u4e3an,\u4e0a\u89d2\u6807\u4e3ar\uff09\u3002\u610f\u601d\u53ef\u4ee5\u662f\u6709n\u4e2a\u5143\u7d20\u4ece\u4e2d\u53d6\u51far\u4e2a\uff0c\u6ce8\u610f\u8fd9\u91cc\u4e0d\u7528\u8fdb\u884c\u6392\u5217\uff0c\u53d6\u51fa\u5373\u8fbe\u5230\u76ee\u7684\u3002\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u7406\u89e3\uff1a//////\u6309\u7167\u524d\u9762\u7684\u7a7a\u7a74\u89e3\u6cd5\uff1a\u6392\u5217\u6709n!/(n-r)!\u4f46\u662f\u8fdb\u884c\u4e86\u6392\u5e8f\u6bd4\u59826\u4e2a\u5143\u7d20\u91cc\u9762\u9009\u4e863\u4e2a\u6392\u5217\u6709120\u79cd\u4f46\u662f\u7ec4\u5408\u5c31\u4e0d\u662f\u4e86\u53d6\u51fa\u4e00\u79cd\u7ec4\u5408123\u6392\u5217\u7684\u65b9\u6cd5\u67093\uff01=6\u79cd\u6240\u4ee5\u7ec4\u5408\u6709120/6=20//////////\u6240\u4ee5\u7ec4\u5408\u6709n!/[(n-r)!*r!]

考虑：P(n，n)=n！，P(n+1，n+1)=(n+1)!
所以：P(n+1，n+1)-P(n，n)=(n+1)!-n!=n×n！=nP(n，n)
就是说：
1P(1，1)=P(2，2)-P(1，1)，-----(1)
2P(2，2)=P(3，3)-P(2，2)，----(2)
3P(3，3)=P(3，3)-P(2，2)，-----(3)
……，
nP(n，n)=P(n+1，n+1)-P(n，n)---(n)
n个等式相加，即得结论
1P(1，1)+ 2P(2，2)+3P(3，3)+---+nP(n，n)=P(n+1，n+1)-P(1，1)
=P(n+1，n+1)-1

我们只化简通项
n*P(n,n)
=(n+1)*P(n,n)-P(n,n)
=P(n+1,n+1)-P(n,n)
直接带入原式，就得到结论

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