圆的面积公式怎么推导出来的? 圆的面积公式怎么推导出来的?
\u5706\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u662f\u5982\u4f55\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u7684\u628a\u5706\u5e73\u5747\u5206\u6210\u82e5\u5e72\u4efd\uff0c\u53ef\u4ee5\u62fc\u6210\u4e00\u4e2a\u8fd1\u4f3c\u7684\u957f\u65b9\u5f62\u3002\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u5bbd\u5c31\u7b49\u4e8e\u5706\u7684\u534a\u5f84\uff08r\uff09\uff0c\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u957f\u5c31\u662f\u5706\u5468\u957f\uff08C\uff09\u7684\u4e00\u534a\u3002\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u662fab\uff0c\u90a3\u5706\u7684\u9762\u79ef\u5c31\u662f\uff1a\u5706\u7684\u534a\u5f84\uff08r\uff09\u4e58\u4ee5\u4e8c\u5206\u4e4b\u4e00\u5468\u957fC\uff0cS=r*C/2=r*\u03c0r\u3002
\u5706\u5468\u957f\u516c\u5f0f\uff1a\u5706\u5468\u957f\uff08C\uff09\uff1a\u5706\u7684\u76f4\u5f84\uff08d\uff09\uff0c\u90a3\u5706\u7684\u5468\u957f\uff08C\uff09\u9664\u4ee5\u5706\u7684\u76f4\u5f84\uff08d\uff09\u7b49\u4e8e\u03c0\uff0c\u90a3\u5229\u7528\u4e58\u6cd5\u7684\u610f\u4e49\uff0c\u5c31\u7b49\u4e8e \u03c0\u4e58\u4ee5\u5706\u7684\u76f4\u5f84\uff08d\uff09\u7b49\u4e8e\u5706\u7684\u5468\u957f\uff08C\uff09\uff0cC=\u03c0d\u3002\u800c\u540c\u5706\u7684\u76f4\u5f84\uff08d\uff09\u662f\u5706\u7684\u534a\u5f84\uff08r\uff09\u7684\u4e24\u500d\uff0c\u6240\u4ee5\u5c31\u5706\u7684\u5468\u957f\uff08C\uff09\u7b49\u4e8e2\u4e58\u4ee5\u03c0\u4e58\u4ee5\u5706\u7684\u534a\u5f84\uff08r\uff09\uff0cC=2\u03c0r\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6247\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a
\u5728\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u5706\u4e2d\uff0c\u56e0\u4e3a360\u00b0\u7684\u5706\u5fc3\u89d2\u6240\u5bf9\u7684\u6247\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u5706\u9762\u79efS=\u03c0R2;\uff1b\uff0c\u6240\u4ee5\u5706\u5fc3\u89d2\u4e3an\u00b0\u7684\u6247\u5f62\u9762\u79ef\uff1a
S=\uff08n\u03c0R2\uff09\u00f7360
\u6247\u5f62\u8fd8\u6709\u53e6\u4e00\u4e2a\u9762\u79ef\u516c\u5f0f
S=1/2lR \uff08\u5176\u4e2dl\u4e3a\u5f27\u957f\uff0cR\u4e3a\u534a\u5f84 \uff09
\u672c\u6765S=\uff08n\u03c0R2\uff09\u00f7360
\u6309\u5f27\u5ea6\u5236\u30022\u03c0=360\u5ea6\u3002\u56e0\u4e3an\u7684\u5355\u4f4d\u4e3a\u5ea6.\u6240\u4ee5l\u4e3a\u89d2\u5ea6\u4e3an\u65f6\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u5f27\u957f.\u5373.l=\u03b8R=\uff08n/180)\u03c0\u00d7R
\u2234s=(n/180)\u03c0*R*\u03c0*R/2\u03c0=1/2lR.
\u53ef\u4ee5\u60f3\u8c61\u628a\u4e00\u4e2a\u5706\u5c55\u5f00
\u4ed6\u5c31\u6210\u91cc\u4e00\u4e2a\u5e95=\u5706\u5468\u957f \u9ad8=\u534a\u5f84 \u7684"\u4e09\u89d2\u5f62"
(\u6247\u5f62\u672c\u8eab\u5c31\u8c61\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u561b \u60f3\u8c61\u4e00\u4e0b)
\u56e0\u4e3a \u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=\u5e95*\u9ad8/2
\u6240\u4ee5\u5706\u9762\u79ef= \u5706\u5468\u957f * \u534a\u5f84 /2
= 2\u043br * r /2
= \u043b\u00d7r\u00d7r
OK?
\u5176\u5b9e\u6d89\u53ca\u5230\u5fae\u79ef\u5206\u95ee\u9898 \u4e0d\u8fc7\u53ef\u4ee5\u59d1\u4e14\u8fd9\u6837\u60f3\u8c61\u4e0b
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）乘以二分之一周长C，S=r*C/2=r*πr。
圆周长公式：圆周长（C）：圆的直径（d），那圆的周长（C）除以圆的直径（d）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘以圆的直径（d）等于圆的周长（C），C=πd。而同圆的直径（d）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（C）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
扩展资料：
扇形的面积公式：
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2;；，所以圆心角为n°的扇形面积：
S=（nπR2）÷360
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR （其中l为弧长，R为半径 ）
本来S=（nπR2）÷360
按弧度制。2π=360度。因为n的单位为度.所以l为角度为n时所对应的弧长.即.l=θR=（n/180)π×R
∴s=(n/180)π*R*π*R/2π=1/2lR.
推导圆面积计算公式的三种教法
教学圆面积公式的推导，我曾听过三种不同的教法，现分别简介过程及稍作评点。
〔第一种教法〕
（1）复习长方形面积计算公式。
（2）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。
（3）教师边用教具演示，边要求学生回答：
①拼成的图形近似于什么图形？想一想，如果等分的份数越多，拼成的图形会怎么样？
②拼成的图形与原来圆的面积相等吗？
③这个近似长方形的长相当于圆的什么？它的宽相当于圆的什么？
（4）教师要求学生说出由长方形面积计算公式，推导出圆面积计算公式的方法（可按课本说）。
（5）揭示圆的面积公式。
〔评：这种教法，看起来是引导学生自学，并结合演示让学生回答问题，似乎学生学得较主动，实际上学 生未有实践、思考的过程，只是“依样画葫芦”，对其中的道理不能弄懂、弄通，这属于机械的学习。〕
〔第二种教法〕
1、导入新课。
教师让学生回忆一下，以前学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算时，是用什么方法推导它们的计算 公式的。（用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算，教师出示割、拼教具分别作简单的演示。）接着， 出示一张圆形硬纸片，问：“怎样计算它的面积呢？”（揭示课题）教师指出：我们仍可用以前学过的割、拼 法，把圆转化为已学过的图形，运用此图形的面积计算方法，推导出圆面积的计算方法。
2、实际操作。
要求学生拿出圆面积的割拼图形学具，在教师的指导下，边操作，边回答以下问题：
①把一个圆平分成两半，每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的1／2？再把每一个半圆形平均分 成8等份（如课本的切割图），那么哪一段的长度相当于圆的半径？
②想一想：能不能把这些等分出的图形，拼成近似于我们以前学过的图形？怎样拼？（要求学生动手实践 ，并指名演示拼出的几种不同的图形。如：长方形、平行四边形、梯形等。）
③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗？
3．推导公式。
先以拼出的近似长方形的图形为例，教师引导学生弄清，若平分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 进而，教师要求学生据图回答：割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分的长度？宽相当于圆的哪一部分的长 度？从而
由 长方形的面积＝长×宽
↓ ↓
得 圆的面积 ＝πr×r＝πr〔2〕。
然后，出示拼出的近似的平行四边形或梯形，再次推导看能否得出上面的圆面积公式（略）。这样就得到 了证实，使学生确信无疑。
〔评：这种教法比第一种教法有很大的改进，教师首先通过复习旧知，提出解决问题的办法，把新旧知识 有机结合起来，明确了本课中心内容，然后让学生亲手操作割拼成几种已学过的图形，引导学生观察、思考、 比较、推导，其间不囿于课本中的推导方法，让学生思维得以发散，从而强化了转化思想，多渠道地推得圆面 积计算公式。学生在学习过程中，始终处于积极主动的状态，这种学习是有意义的学习，不仅使他们“学会” ，而且使他们“会学”，且有助于发展学生的智能。〕
〔第三种教法〕
1、引入新课。
教师开导：圆在日常生活、生产实践及科学实验中，有着广泛的应用。上节课我们学习了圆的周长计算， 但仍不够，还要学会计算圆的面积。如计算一个雷达圆形屏幕的面积，一个圆形花圃的面积等。怎样才能算出 它的面积呢？（揭示、板书课题）。
2、创设情境。
教师用几张相等的圆纸片，运用折纸、剪纸的方法，分别折剪成正四边形、正八边形、正十六边形，然后 再分别与原来的图纸片叠在一起，见下图：
（附图 {图}）
折四等份剪成 折八等份剪成 折十六等份剪成
正四边形 正八边形 正十六边形
引导学生观察、对比三个内接正多边形与圆的面积差（阴影部分）谁大谁小，并启发学生归结出：折成的 等份数越多，剪成的正多边形边数越多，它就越接近圆。其中正多边形的每等份（三角形）就越接近圆的每等 份。
3、推导公式。
师：同学们现在要计算圆的面积，选用哪种正多边形为好？为什么？
生〔，1〕：选正十六边形为好，因为它较接近圆。
生〔，2〕：选边数越多的正多边形更好，因为它更接近圆。
师：回答得很好，根据现有的右图，怎样计算圆的面积呢？请大家思考以下问题：
（1）圆的面积相当于多少个三角形面积之和？
（2）这些三角形的底边之和相当于圆的什么？
（3）每个三角形的高相当于圆的什么？
学生边回答，教师边板书：
正十六边形的面积＝S〔，三角形〕×16
↓
＝底边×高÷2×16
＝底边×16×高÷2
↓ ↓
圆的面积＝2πr× r÷2
＝πr〔2〕
最后让学生自学课本中的推导方法，质疑解难。进而教师小结：推导圆的面积公式与以前推导有关图形面 积公式一样，把圆转化为已学过的图形进行计算，同学们课后如有兴趣，还可将圆割拼为平行四边形、梯形， 看是否仍能推出S〔，圆〕＝πr〔2〕。
〔评：这种教法具有以下几个特点：
1、导入新课开门见山，使学生感到学习圆的面积是实际中的需要，从而激发了学生的求知欲望。
2、在推导圆面积公式前，教师创设情境，让学生领悟隐含于直观演示中的初步“极限”思想，有助于发 展学生空间想象力和空间观念，从而为推导公式作好铺垫。这是前两种教法所不及的。
3、运用“整体－部分－整体”，分割求和的方法推导圆面积公式，新颖独特，学生易于接受，又以课本 中的方法及其他方法作验证，使学生加深理解，记忆牢固。
4、小结中能促使新知与原有认知结构中有关观念建立起联系，学生的学习是“有意义”的学习。
总评：教学圆面积公式的推导，要充分运用直观手段，引发学生积极思考，不仅使学生知其然，还要知其 所以然，要把教材本身的内在联系揭示出来，促使学生运用已学知识主动地去获取新知；既使学生“学会”， 又使学生“会学”，让他们在学习中同时学到科学的方法，提高学习能力，这样才能取得较好的教学效果。由 此可见，后两种教法是可取的，且教法三更佳。
把圆分成一个个小扇形，再把这些小扇形拼成一个长方形，就可以得到S=r*C/2
可以想象把一个圆展开
他就成里一个底=圆周长 高=半径 的"三角形"
(扇形本身就象个三角形嘛 想象一下)
因为 三角形面积=底*高/2
所以圆面积= 圆周长 * 半径 /2
= 2лr * r /2
= л×r×r
OK?
其实涉及到微积分问题 不过可以姑且这样想象下
这个我认为比较容易理解吧..
============================================
下面这个比较详细...
http://www.gwdq.com/lwzx/jylw/ywlw/73450.html
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