初中数学怎样去总结 初中数学总结怎么写?
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\u5e38\u601d\u8003\uff0c\u5e38\u7814\u7a76\uff0c\u5e38\u603b\u7ed3\uff0c\u4ee5\u79d1\u7814\u4fc3\u8bfe\u6539\uff0c\u4ee5\u521b\u65b0\u6c42\u53d1\u5c55, \u8fdb\u4e00\u6b65\u8f6c\u53d8\u6559\u80b2\u89c2\u5ff5\uff0c\u575a\u6301\u201c\u4ee5\u4eba\u4e3a\u672c\uff0c\u4fc3\u8fdb\u5b66\u751f\u5168\u9762\u53d1\u5c55\uff0c\u6253\u597d\u57fa\u7840\uff0c\u57f9\u517b\u5b66\u751f\u521b\u65b0\u80fd\u529b\u201d\uff0c\u4ee5\u201c\u81ea\u4e3b\u2014\u2014\u521b\u65b0\u201d\u8bfe\u5802\u6559\u5b66\u6a21\u5f0f\u7684\u7814\u7a76\u4e0e\u8fd0\u7528\u4e3a\u91cd\u70b9\uff0c\u52aa\u529b\u5b9e\u73b0\u6559\u5b66\u9ad8\u8d28\u91cf\uff0c\u8bfe\u5802\u9ad8\u6548\u7387\u3002
\u4e09\u3001\u65b0\u8bfe\u6539\u4f7f\u6211\u4eec\u9762\u4e34\u6311\u6218
\u6211\u4eec\u9762\u4e34\u8bb8\u591a\u6311\u6218\uff1a\u7531\u4e8e\u5b66\u751f\u5b66\u4e60\u65b9\u5f0f\u7684\u8f6c\u53d8\uff0c\u5728\u8bfe\u5802\u6559\u5b66\u6d3b\u52a8\u4e2d\u5b66\u751f\u662f\u4e0d\u662f\u79ef\u6781\u4e3b\u52a8\u6295\u5165\u5230\u63a2\u7d22\u4e4b\u4e2d\uff1f\u4ed6\u4eec\u5bf9\u5b66\u4e60\u662f\u4e0d\u662f\u5145\u6ee1\u70ed\u60c5\uff0c\u662f\u4e0d\u662f\u79ef\u6781\u601d\u8003\u95ee\u9898\uff1f\u8001\u5e08\u662f\u4e0d\u662f\u4e5f\u6295\u5165\u5230\u5b66\u751f\u7684\u6d3b\u52a8\u4e2d\uff0c\u5bf9\u5b66\u751f\u7684\u7814\u7a76\u8fdb\u884c\u9002\u65f6\u7684\u542f\u53d1\u548c\u6307\u5bfc\uff0c\u4fc3\u8fdb\u5b66\u751f\u66f4\u6709\u6548\u7684\u5b66\u4e60\u6d3b\u52a8\uff1f\u662f\u4e0d\u662f\u628a\u5b66\u751f\u4f5c\u4e3a\u6559\u5b66\u7684\u51fa\u53d1\u70b9\uff1f\u662f\u4e0d\u662f\u7ed9\u5b66\u751f\u7559\u4e0b\u5145\u5206\u7684\u601d\u7ef4\u7a7a\u95f4\u7b49\u7b49\uff0c\u8fd9\u4e9b\u95ee\u9898\u786e\u5b9e\u503c\u5f97\u6211\u4eec\u6df1\u601d\u3002\u8fd8\u6709\u4e00\u4e9b\u95ee\u9898\uff0c\u63d0\u51fa\u8ba9\u540c\u884c\u5171\u540c\u78cb\u5546\uff1a
\u3000\u30001\u3001\u6559\u5e08\u5531\u4e3b\u89d2\u7684\u73b0\u8c61\u4f9d\u7136\u5b58\u5728\uff0c\u5b66\u751f\u7684\u5b66\u662f\u4e3a\u4e86\u914d\u5408\u6559\u5e08\u7684\u6559\uff0c\u6559\u5e08\u671f\u671b\u5b66\u751f\u6309\u6559\u6848\u8bbe\u8ba1\u505a\u51fa\u56de\u7b54\uff0c\u5e76\u52aa\u529b\u8bf1\u5bfc\u5b66\u751f\u3001\u5f97\u51fa\u9884\u5b9a\u7b54\u6848\uff0c\u5b66\u751f\u5b66\u4f1a\u5982\u4f55\u63e3\u6469\u8001\u5e08\u7684\u5fc3\u7406\u3002
\u3000\u30002\u3001\u6559\u5b66\u8981\u6709\u7a0b\u5e8f\uff0c\u4f46\u4e0d\u80fd\u7a0b\u5e8f\u5316\uff0c\u4ecd\u6709\u4e00\u4e9b\u6559\u5e08\u8fc7\u5206\u4f9d\u8d56\u6559\u6848\uff0c\u51fa\u73b0\u786c\u62fd\u5b66\u751f\u8fdb\u5165\u6559\u5e08\u9884\u5b9a\u7684\u8f68\u8ff9\u4e2d\u7684\u73b0\u8c61\u3002
\u3000\u30003\u3001\u5982\u4f55\u66f4\u597d\u4f53\u73b0\u5c0f\u7ec4\u5408\u4f5c\u5b66\u4e60\u7684\u4ef7\u503c\uff1f\u5c0f\u7ec4\u5408\u4f5c\u5b66\u4e60\u8868\u9762\u4e0a\u5f62\u5f0f\u70ed\u70ed\u95f9\u95f9\uff0c\u4f46\u5c0f\u7ec4\u8ba8\u8bba\u7684\u6709\u6548\u6027\u6ca1\u6709\u5f88\u597d\u4f53\u73b0\uff0c\u6709\u4e9b\u95ee\u9898\u7684\u629b\u51fa\uff0c\u5b66\u751f\u6ca1\u6709\u7ecf\u8fc7\u72ec\u7acb\u601d\u8003\u5c31\u8fdb\u884c\u4ea4\u6d41\uff0c\u8fd9\u662f\u6ca1\u6709\u610f\u4e49\u7684\u3001\u65e0\u6548\u7684\u5b66\u4e60\u3002
\u3000\u30004\u3001\u8fd0\u7528\u591a\u5a92\u4f53\u8bfe\u4ef6\u6f14\u793a\u7684\u6559\u5b66\u662f\u6309\u8bfe\u4ef6\u8d70\uff0c\u8fd8\u662f\u6309\u5b66\u751f\u8d70\uff0c\u662f\u5173\u6ce8\u6d3b\u751f\u751f\u7684\u8bfe\u5802\uff0c\u4ea7\u751f\u771f\u5207\u7684\u5e08\u751f\u4e92\u52a8\uff0c\u8fd8\u662f\u6d41\u4e8e\u5f62\u5f0f\u3002\u6709\u4e9b\u8bfe\u770b\u4f3c\u70ed\u70ed\u95f9\u95f9\uff0c\u4f46\u6d41\u4e8e\u5f62\u5f0f\u6ca1\u6709\u5b9e\u6548\u3002
\u3000\u30005\u3001\u6559\u5e08\u5982\u4f55\u628a\u601d\u8003\u8fd8\u7ed9\u5b66\u751f\u3002
\u56db\u3001\u4e00\u5802\u597d\u7684\u6570\u5b66\u8bfe\u5e94\u5177\u5907\u54ea\u4e9b
\u6211\u8ba4\u4e3a\uff1a\u4e00\u8282\u597d\u7684\u6570\u5b66\u8bfe\u5e94\u5177\u5907\u4ee5\u4e0b\u7279\u5f81\uff1a
\u3000\u3000\uff081\uff09\u786e\u5b9a\u7b26\u5408\u5b9e\u9645\u7684\u5185\u5bb9\u8303\u56f4\u548c\u96be\u5ea6\u8981\u6c42\u3002
\u3000\u3000\uff082\uff09\u4e3a\u5b66\u751f\u521b\u8bbe\u5bbd\u677e\u548c\u8c10\u7684\u5b66\u4e60\u73af\u5883\u3002
\u3000\u3000\uff083\uff09\u5173\u6ce8\u5b66\u751f\u7684\u5b66\u4e60\u8fc7\u7a0b\uff0c\u8ba9\u5b66\u751f\u4f53\u4f1a\u6570\u5b66\u5b66\u4e60\u4e0e\u83b7\u5f97\u6210\u529f\u7684\u673a\u4f1a\u3002
\u3000\u3000\uff084\uff09\u5c0a\u91cd\u5b66\u751f\u7684\u9700\u8981\uff0c\u4fdd\u62a4\u5b66\u751f\u7684\u81ea\u5c0a\u5fc3\u548c\u81ea\u4fe1\u5fc3\u3002
\u3000\u3000\uff085\uff09\u8fd0\u7528\u7075\u6d3b\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u9002\u5e94\u5b66\u751f\u7684\u5b9e\u9645\u548c\u5185\u5bb9\u7684\u8981\u6c42\u3002
\u3000\u3000\uff086\uff09\u4e3a\u5b66\u751f\u7559\u4e0b\u601d\u8003\u7684\u65f6\u95f4\u3002\u4e00\u8282\u597d\u8bfe\u5e94\u662f\u8ba9\u5b66\u751f\u4e3b\u52a8\u53c2\u4e0e\u5b66\u4e60\uff0c\u5b66\u751f\u662f\u8bfe\u5802\u7684\u6559\u5b66\u4e3b\u4f53\uff0c\u4f7f\u6bcf\u4e00\u4e2a\u5b66\u751f\u5728\u53c2\u4e0e\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u4f53\u9a8c\u5b66\u4e60\u7684\u5feb\u4e50\uff0c\u83b7\u5f97\u5fc3\u667a\u7684\u53d1\u5c55\u3002
\u3000\u4e00\u8282\u597d\u8bfe\u80fd\u8ba9\u5b66\u751f\u53d7\u76ca\u4e00\u751f\uff0c\u8bfe\u5802\u6559\u5b66\u9700\u8981\u7684\u662f\u5b8c\u6574\u7684\u4eba\u7684\u6559\u80b2\uff0c\u4e0d\u4ec5\u4ec5\u662f\u8ba9\u5b66\u751f\u83b7\u5f97\u4e00\u79cd\u77e5\u8bc6\uff0c\u8fd8\u662f\u8ba9\u5b66\u751f\u62e5\u6709\u4e00\u79cd\u7cbe\u795e\uff0c\u4e00\u79cd\u7acb\u573a\uff0c\u4e00\u79cd\u6001\u5ea6\uff0c\u4e00\u79cd\u4e0d\u61c8\u7684\u8ffd\u6c42\uff0c\u597d\u8bfe\u7559\u7ed9\u5b66\u751f\u7684\u7cbe\u795e\u662f\u6c38\u6052\u7684\u3002
\u4e00\u4efd\u8015\u8018\uff0c\u4e00\u4efd\u6536\u83b7\u3002\u6559\u5b66\u5de5\u4f5c\u82e6\u4e50\u76f8\u4f34\u3002\u6211\u4eec\u5c06\u672c\u7740\u201c\u52e4\u5b66\u3001\u5584\u601d\u3001\u5b9e\u5e72\u201d\u7684\u51c6\u5219\uff0c\u4e00\u5982\u65e2\u5f80\uff0c\u518d\u63a5\u518d\u5389\uff0c\u628a\u5de5\u4f5c\u641e\u5f97\u66f4\u597d\u3002
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
一、线段（和差）为定值问题：
典型例题：
例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：
连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴。
∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=。
∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，
∴BE•CK=PR•BE＋PQ•BC。
又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=，∴PR＋PQ=。
（3）图3中的结论是PR－PQ=．
例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线，
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵，∴顶点P（2，－k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=，
∴k=±。
③线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
例4：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；
ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；
（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.
【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。
又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=。
ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。
可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），
且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。
故sin∠A=sin∠A=。
（2）保持不变。理由如下：
如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，
在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK。
同理得：BK=AK=PK。
∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。
∴由（1）ii）sin∠A=可知sin60°=。
∴AP=（为定值）。
例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，
则 解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式所以。
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，
∴，∴x22=4(y2+1)。
又∵，∴。
又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。
设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F，则，
∴ON=2EF，
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，
∴以ON为直径的圆与相切。
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，
又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，
∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，
则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=
∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
例6：（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．
理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我
们的启发证明（2）中的猜想．
【答案】解：（1）作图如下：
（2）在图2中，，
∴四边形EFGH的周长为。
在图3中，，，
∴四边形EFGH的周长为。
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。
（3）延长GH交CB的延长线于点N，
∵，，∴。又∵FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。∴EF=MF，EC=MC。
同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。
∵，，，∴。∴GM=GN。
过点G作GK⊥BC于K，则。
∴。
∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。
例7：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
二、面积（和差）为定值问题：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。
。故结论④错误。
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形。
则。
故结论⑤正确。
综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。
例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，
∴OC=OP+PC=4+4=8。[来源:Zxxk.Com]
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。
t的取值范围为：0＜t＜4。
（2）结论：△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。
∴，即，解得CE=。
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。
S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE－OA•OE
= [4＋（8－t）]×8+（8－t）•－×4×（8＋）。
化简得：S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。
∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8=t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，
解得：t1=6+2，t2=。
由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。
∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com]
例3：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时，，解得:x=2.5。
（2）
∵，
∴为常数。
（3）延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
例4：（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
。
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。
（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。∴。
三、其它定值问题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1：（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx得；6=3k，即k=2。
∴y=2x。∴。
（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：
如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时。
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。∴OC=AC=。
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC。∴。∴OF=。∴点F（，0）。
设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。
∴，即。
解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。
在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。
设OE=x，则AE=﹣x（），
由△ABE∽△OED得，即。
∴。
∴顶点为。
如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；
当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当时，E点只有1个，当时，E点有2个。
例2：（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
【答案】C。
【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。
【分析】如图，图①中，∠ABC=∠ABD＜×450＜∠DBE，
即∠ABC＜22.50。
根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，CD≠BC。
图②中，由折叠的性质，∠ABC=∠ABF，EC∥FB，
∴∠ABC=∠ABF=∠ADE=∠BDC。∴BC=DC。
又∵由正方形对折的性质和平行线的性质，知AD=BD，
∴根据直角三角形斜边上中线的性质，得DC=AB，即BC=AB。
满足它的一条直角边等于斜边的一半。
图③中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。
图④中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，知AB=CB，AB=2BD，
∠ABE=∠CBE，
∴BC=2BD。∴∠BCD=300。∴∠CBD=600。
∵∠ABE＋∠CBE＋∠CBD=1800。∴∠ABE =600。∴∠AEB =300。
∴AB=BE。满足它的一条直角边等于斜边的一半。
综上所述，这样的图形有2个。故选C。
例3：（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。（1）求二次函数的解析式；【版权归锦元数学工作室，不得转载】
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD，如图1所示，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴ ，解得。
∴二次函数的解析式为：。
（2）证明：在中，令y=0，得，解得x1=－3，x2=2。
∴C（2，0），∴BC=5。
令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。
又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。
∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），
∴，解得：。∴直线BD解析式为：。
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。
∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。
∴。
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴
。
例4：（2012四川成都12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．【版
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
【答案】解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴，解得。
∴直线解析式为。
令x=0，得。∴C（0，）。
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0）。
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得。
∴抛物线解析式为y=（x+3）（x﹣5），即。
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF，如答图1。
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。
又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF，
∴△CAO≌△EFG（AAS）。
∴EG=CO=，即yE=。
∴，
解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。
∴E（2，），S▱ACEF=。
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（），S▱ACE′F′=。
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。
∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC解析式为。
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）。
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
联立得
x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）。
根据勾股定理得：
M1M2=
，
M1P=，
M2P=。
∴M1P•M2P=
∴M1P•M2P=M1M2。∴=1为定值。
绛旓細6.瀹氭湡澶嶄範锛氬畾鏈熷宸插杩囩殑鐭ヨ瘑鐐硅繘琛屽涔锛屽珐鍥鸿蹇嗐傚彲浠ラ氳繃鍋氶銆佹煡婕忚ˉ缂虹瓑鏂瑰紡杩涜澶嶄範銆7.鍙傚姞绔炶禌鍜岃璁锛氬弬鍔犳暟瀛︾珵璧涘拰涓庡悓瀛︺佽佸笀鐨勮璁猴紝鍙互甯姪浣犳洿娣卞叆鍦颁簡瑙ｅ拰鎺屾彙鐭ヨ瘑鐐广8.鍒朵綔閿欓鏈锛氬皢鍋氶敊鐨勯鐩褰曞湪閿欓鏈笂锛屽垎鏋愰敊璇師鍥狅紝骞跺強鏃惰繘琛屾敼姝ｃ傝繖鏍峰彲浠ュ府鍔╀綘閬垮厤鍦ㄧ被浼奸鐩笂鍐...
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