高中数学反证法例题
反证法首先假设某命题不成立(即在原命题的题设下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说假设不成立,原命题得证。下面由我给你带来关于高中数学反证法例题,希望对你有帮助!
高中数学反证法例题一
选择题
1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )
A.有一个解
B.有两个解
C.至少有三个解
D.至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.
2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A.a、b、c都是奇数
B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C.a、b、c都是偶数
D.a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.
4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a、b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数.
5.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )
A.a
B.a≤b
C.a=b
D.a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a=b或a
6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
7.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中( )
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2
D.至少有一个不小于-2
[答案] C
[解析] a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a,b,c∈(-∞,0),
∴a+1a=--a+-1a≤-2
b+1b=--b+-1b≤-2
c+1c=--c+-1c≤-2
∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6
∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C.
8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m
则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥α);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C.
10.已知x1>0,x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为( )
A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1
B.存在正整数n,使xn=xn+1
C.存在正整数n,使xn≥xn+1且xn≤xn-1
D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D.
高中数学反证法例题二
填空题
11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”.
12.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________.
[答案] a,b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.
13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确顺序的序号排列为____________.
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.
14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下:
假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn,令p=p1p2…pn+1.
显然,p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数,要么含有______________的质因数.这表明,除质数p1、p2、…、pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.
[答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得.
高中数学反证法例题三
解答题
15.已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.
求证:a>0,b>0,c>0.
[证明] 用反证法:
假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,
可得c>-(a+b),
又a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,
这与已知ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立.
因此a>0,b>0,c>0成立.
16.已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.
[证明] 证法1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,
同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.
三式相加,得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,
即32>32,矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
证法2:假设三个式子同时大于14,即(1-a)b>14,(1-b)c>14,(1-c)a>14,三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①
因为0
同理,0
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②
因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.
17.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(1)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
[解析] (1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).
又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).
两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)逆命题:
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.
下面用反证法证之.
假设a+b<0,那么:
a+b<0?a<-b?f(a)
?f(a)+f(b)
这与已知矛盾,故只有a+b≥0.逆命题得证.
18.(2010?湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br,则只可能有2bs=br+bt成立.
∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.
两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s,
由于r
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.
绛旓細鑻a+b|<0.5锛寍a-b|<0.5锛寍a-1|<0.5锛屽垯2|a|=|(a+b)+(a-b)|<=|a+b|+|a-b|<1锛屾墍浠ワ紝|a|<0.5锛屽洜涓猴紝|a-1|<0.5锛屾墍浠ワ紝1=|a-(a-1)|<=|a|+|a-1|<1锛岀煕鐩俱
绛旓細娆㈣繋杩涘叆楂樹腑鏁板鐗╃悊鐨勫濡欎笘鐣岋紝浠婂ぉ鎴戜滑瑕佹帰绱㈢殑鏄竴绉嶅己澶х殑閫昏緫宸ュ叿鈥斺鍙嶈瘉娉锛屽畠鐘瑰涓鎶婃彮绀虹湡鐞嗙殑鍒╁墤锛屽皢澶嶆潅鐨勯棶棰樼畝鍖栵紝寮曞鎴戜滑璧板悜娓呮櫚鐨勭瓟妗堛傚涔犲弽璇佹硶锛屼笉浠呬粎鏄帉鎻′竴绉嶆妧宸э紝鏇存槸涓绉嶆濈淮鐨勮浆鍙橈紝瀹冨皢浼撮殢浣犵殑浜虹敓鏃呯▼锛屽奖鍝嶄綘瑙e喅闂鐨勬柟寮忋傛繁鍏ョ悊瑙e弽璇佹硶 鍙嶈瘉娉曠殑鏍稿績鍦ㄤ簬锛屾垜浠...
绛旓細1.鍋囪AB>AC 鍒欒ABC<瑙扐CB 鍙堝洜涓篈BCD涓哄嚫鍥涜竟褰紝鏈 瑙扗BC<瑙扐BC锛岃DCB>瑙扐CB 鎵浠ヨDBC<瑙扗CB锛屽嵆DB>DC AB+DB>AC+DC,涓庨璁剧煕鐩 2.璇侊細宸茬煡鏂圭▼ax^2+bx+c=0(a涓嶇瓑浜0)鏈夋湁鐞嗘牴 鏁呬笂鏂圭▼鐨勫垽鍒紡鈻=b^2-4ac鈮0 璁ㄨ锛氫竴銆佲柍=0锛宐^2-4ac=0 ac=(b/2)^2 鍥燼銆乥銆乧鏄...
绛旓細鎹㈠彞璇濊锛屾潃浜鸿呮槸鍙︿竴涓汉杩欎欢浜嬪苟涓嶅瓨鍦ㄣ傦紙寰楀埌B鍛介閿欒鐨勭粨璁猴級閭e氨鏄负浠涔堜粠涓寮濮嬫垜灏扁樺亣瀹氣欙紝濡備綘鎵璇达紝涓嬫瘨鑰呭拰鏉浜鸿呮牴鏈氨鏄悓涓涓汉锛佲濓紙寰楀嚭A鍛介鎴愮珛鐨勭粨璁猴紒锛鍙嶈瘉娉鏄楂樹腑鏁板涓鐨勬帹鐞嗘柟娉曪紝鐢变笂杩颁緥瀛愬彲瑙侊紝鍒╃敤鍦ㄧ姱缃帹鐞嗕腑锛屾槸寰堝疄鐢ㄨ屽畬缇庣殑锛
绛旓細鍋囪GH涓嶦F涓嶆槸寮傞潰鐩寸嚎 鈭靛洓杈瑰舰ABCD涓虹┖闂村洓杈瑰舰 鈭村钩闈CD涓庡钩闈BD涓嶅叡闈 鈭寸敱鍋囪鐭H涓嶦F鍙兘涓哄钩琛岀嚎 鈭礒銆丗鍒嗗埆鏄疊C銆丆D鐨勪腑鐐 鈭碋F鈭D 鍙堚埖GH鈭F 鈭碐H鈭D 鈭碅G:GB=AH:HD 杩欎笌棰樻剰鎵缁欐潯浠朵笉绗 鏁呭亣璁句笉鎴愮珛锛屽師鍛介鎴愮珛 鍗矴H涓嶦F鏄紓闈㈢洿绾 ...
绛旓細鑷冲皯鏈変竴涓皬浜2鐨勫弽闈㈡槸閮藉ぇ浜2 锛(1+b)/a>2 锛(1+a)/b>2 鍒欏緱鍒 1+b>2a 鍜1+a>2b 涓や釜鐩稿姞寰楀埌 2> a+b 涓 宸茬煡a+b>2鐭涚浘銆傛墍浠ワ細(1+b)/a,(1+a)/b涓嚦灏戞湁涓涓皬浜2.
绛旓細1)瀹氫箟鍩:2^x鈮1,x鈮0,鍏充簬鍘熺偣瀵圭О f(x)=x³(2^x+1)/2(2^x-1)f(-x)=(-x)³(2^-x+1)/2(2^-x-1)=-x³(1+2^x)/2(1-2^x)=x³(2^x+1)/2(2^x-1)=f(x)鈭磃(x)鏄伓鍑芥暟 2)鍋囪鈭歛+鈭歜鏄湁鐞嗘暟,鏄剧劧鈭歛+鈭歜>0 (鍚﹀垯a=b=0涓...
绛旓細涓锛岀敱棰樺緱a^x-1>0銆傚姝ゅ垎绫昏璁猴紝褰0<a<1鏃讹紝瀹氫箟鍩熶负x<0.褰揳>1鏃讹紝瀹氫箟鍩熶负x>0.浜岋紝鐢鍙嶈瘉娉銆傚亣璁惧瓨鍦ㄤ笉鍚屼袱鐐笰(x1,y1),B(x2,y2)(x1涓嶇瓑浜巟2)婊¤冻AB鏂滅巼绛変簬0.鍒檡1=y2.鍙︿竴鏂归潰锛屽綋a>1鏃讹紝浠=a^x-1(x>0)鏄撶煡璇ュ嚱鏁颁负瀹氫箟鍩熷唴鍗曡皟閫掑锛屽張y=loga(t)鍦ㄥ畾涔夊煙鍐...
绛旓細涓嶅瓨鍦ㄧ殑锛鍙嶈瘉娉锛岃繖涓暟瑕佹槸瀛樺湪涓瀹氫細鏄釜濂囨暟璁句负2n-1.鑻ュ瓨鍦ㄦ鏁存暟锛屽畠鏃㈠彲浠ヨ〃绀烘垚1990涓繛缁鏁存暟涔嬪拰锛屽張鎭板彲鐢1990绉嶆柟娉曡〃绀烘垚鑷冲皯涓や釜杩炵画姝f暣鏁颁箣鍜屻傚彧鏈夌涓娆¤〃绀烘垚2涓暟鐩稿姞锛岀浜屾琛ㄧず鎴3涓暟鐩稿姞锛屼緷姝ょ被鎺紝鏈鍚庝竴娆¤〃绀烘垚n涓暟鐩稿姞銆傚垯绗竴娆″彉鎹㈡椂n鍜宯-1鐨勫拰锛岃岀浜...
绛旓細搴旇鍔犱笂闄愬埗鏉′欢锛歅銆丵閮芥槸姝f暟銆傚亣璁綪锛婹锛2銆傜敱P^3锛婹^3锛2锛屽緱锛氾紙P锛婹锛夛紙P^2锛峆Q锛婹^2锛夛紳2锛屸埖P锛婹锛2锛屸埓P^2锛峆Q锛婹^2锛1锛屸埓1锛婸Q锛濸^2锛婹^2鈮2PQ锛屸埓PQ锛1銆傚彟涓鏂归潰锛岀敱P^2锛峆Q锛婹^2锛1锛屽緱锛氾紙P锛婹锛塣2锛3PQ锛1锛屸埓1锛3PQ锛烇紙P锛婹锛塣2锛屸埖P锛婹...