勾股定理经典习题 跪求勾股定理经典难题和分类讨论习题（初二）
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u5178\u578b\u4f8b\u9898\u53ca\u7b54\u6848\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u51e0\u4f55\u5b66\u4e2d\u7684\u660e\u73e0\uff0c\u6240\u4ee5\u5b83\u5145\u6ee1\u9b45\u529b\uff0c\u5343\u767e\u5e74\u6765\uff0c\u4eba\u4eec\u5bf9\u5b83\u7684\u8bc1\u660e\u8d8b\u4e4b\u82e5\u9e5c\uff0c\u5176\u4e2d\u6709\u8457\u540d\u7684\u6570\u5b66\u5bb6\uff0c\u4e5f\u6709\u4e1a\u4f59\u6570\u5b66\u7231\u597d\u8005\uff0c\u6709\u666e\u901a\u7684\u8001\u767e\u59d3\uff0c\u4e5f\u6709\u5c0a\u8d35\u7684\u653f\u8981\u6743\u8d35\uff0c\u751a\u81f3\u6709\u56fd\u5bb6\u603b\u7edf\u3002\u4e5f\u8bb8\u662f\u56e0\u4e3a\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u65e2\u91cd\u8981\u53c8\u7b80\u5355\uff0c\u66f4\u5bb9\u6613\u5438\u5f15\u4eba\uff0c\u624d\u4f7f\u5b83\u6210\u767e\u6b21\u5730\u53cd\u590d\u88ab\u4eba\u7092\u4f5c\uff0c\u53cd\u590d\u88ab\u4eba\u8bba\u8bc1\u30021940\u5e74\u51fa\u7248\u8fc7\u4e00\u672c\u540d\u4e3a\u300a\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u547d\u9898\u300b\u7684\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u4e13\u8f91\uff0c\u5176\u4e2d\u6536\u96c6\u4e86367\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u3002\u5b9e\u9645\u4e0a\u8fd8\u4e0d\u6b62\u4e8e\u6b64\uff0c\u6709\u8d44\u6599\u8868\u660e\uff0c\u5173\u4e8e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u5df2\u6709500\u4f59\u79cd\uff0c\u4ec5\u6211\u56fd\u6e05\u672b\u6570\u5b66\u5bb6\u534e\u8605\u82b3\u5c31\u63d0\u4f9b\u4e86\u4e8c\u5341\u591a\u79cd\u7cbe\u5f69\u7684\u8bc1\u6cd5\u3002\u8fd9\u662f\u4efb\u4f55\u5b9a\u7406\u65e0\u6cd5\u6bd4\u62df\u7684\u3002
\u5728\u8fd9\u6570\u767e\u79cd\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u4e2d\uff0c\u6709\u7684\u5341\u5206\u7cbe\u5f69\uff0c\u6709\u7684\u5341\u5206\u7b80\u6d01\uff0c\u6709\u7684\u56e0\u4e3a\u8bc1\u660e\u8005\u8eab\u4efd\u7684\u7279\u6b8a\u800c\u975e\u5e38\u8457\u540d\u3002
\u9996\u5148\u4ecb\u7ecd\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u4e24\u4e2a\u6700\u4e3a\u7cbe\u5f69\u7684\u8bc1\u660e\uff0c\u636e\u8bf4\u5206\u522b\u6765\u6e90\u4e8e\u4e2d\u56fd\u548c\u5e0c\u814a\u3002
1\uff0e\u4e2d\u56fd\u65b9\u6cd5
\u753b\u4e24\u4e2a\u8fb9\u957f\u4e3a(a+b)\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u5982\u56fe\uff0c\u5176\u4e2da\u3001b\u4e3a\u76f4\u89d2\u8fb9\uff0cc\u4e3a\u659c\u8fb9\u3002\u8fd9\u4e24\u4e2a\u6b63\u65b9\u5f62\u5168\u7b49\uff0c\u6545\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\u3002
\u5de6\u56fe\u4e0e\u53f3\u56fe\u5404\u6709\u56db\u4e2a\u4e0e\u539f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u5168\u7b49\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5de6\u53f3\u56db\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u4e4b\u548c\u5fc5\u76f8\u7b49\u3002\u4ece\u5de6\u53f3\u4e24\u56fe\u4e2d\u90fd\u628a\u56db\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u53bb\u6389\uff0c\u56fe\u5f62\u5269\u4e0b\u90e8\u5206\u7684\u9762\u79ef\u5fc5\u76f8\u7b49\u3002\u5de6\u56fe\u5269\u4e0b\u4e24\u4e2a\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u5206\u522b\u4ee5a\u3001b\u4e3a\u8fb9\u3002\u53f3\u56fe\u5269\u4e0b\u4ee5c\u4e3a\u8fb9\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\u3002\u4e8e\u662f
a2+b2=c2\u3002
\u8fd9\u5c31\u662f\u6211\u4eec\u51e0\u4f55\u6559\u79d1\u4e66\u4e2d\u6240\u4ecb\u7ecd\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u65e2\u76f4\u89c2\u53c8\u7b80\u5355\uff0c\u4efb\u4f55\u4eba\u90fd\u770b\u5f97\u61c2\u3002
2\uff0e\u5e0c\u814a\u65b9\u6cd5
\u76f4\u63a5\u5728\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u4e0a\u753b\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u5982\u56fe\u3002
\u5bb9\u6613\u770b\u51fa\uff0c
\u25b3ABA\u2019 \u224c\u25b3AA\u2019\u2019 C\u3002
\u8fc7C\u5411A\u2019\u2019B\u2019\u2019\u5f15\u5782\u7ebf\uff0c\u4ea4AB\u4e8eC\u2019\uff0c\u4ea4A\u2019\u2019B\u2019\u2019\u4e8eC\u2019\u2019\u3002
\u25b3ABA\u2019\u4e0e\u6b63\u65b9\u5f62ACDA\u2019\u540c\u5e95\u7b49\u9ad8,\u524d\u8005\u9762\u79ef\u4e3a\u540e\u8005\u9762\u79ef\u7684\u4e00\u534a\uff0c\u25b3AA\u2019\u2019C\u4e0e\u77e9\u5f62AA\u2019\u2019C\u2019\u2019C\u2019\u540c\u5e95\u7b49\u9ad8\uff0c\u524d\u8005\u7684\u9762\u79ef\u4e5f\u662f\u540e\u8005\u7684\u4e00\u534a\u3002\u7531\u25b3ABA\u2019\u224c\u25b3AA\u2019\u2019C\uff0c\u77e5\u6b63\u65b9\u5f62ACDA\u2019\u7684\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u77e9\u5f62AA\u2019\u2019C\u2019\u2019C\u2019\u7684\u9762\u79ef\u3002\u540c\u7406\u53ef\u5f97\u6b63\u65b9\u5f62BB\u2019EC\u7684\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u77e9\u5f62B\u2019\u2019BC\u2019C\u2019\u2019\u7684\u9762\u79ef\u3002
\u4e8e\u662f\uff0c
S\u6b63\u65b9\u5f62AA\u2019\u2019B\u2019\u2019B=S\u6b63\u65b9\u5f62ACDA\u2019+S\u6b63\u65b9\u5f62BB\u2019EC\uff0c
\u5373 a2+b2=c2\u3002
\u81f3\u4e8e\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u662f\u540c\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684\u77e9\u5f62\u9762\u79ef\u4e4b\u534a\uff0c\u5219\u53ef\u7528\u5272\u8865\u6cd5\u5f97\u5230\uff08\u8bf7\u8bfb\u8005\u81ea\u5df1\u8bc1\u660e\uff09\u3002\u8fd9\u91cc\u53ea\u7528\u5230\u7b80\u5355\u7684\u9762\u79ef\u5173\u7cfb\uff0c\u4e0d\u6d89\u53ca\u4e09\u89d2\u5f62\u548c\u77e9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u3002
\u8fd9\u5c31\u662f\u5e0c\u814a\u53e4\u4ee3\u6570\u5b66\u5bb6\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u5728\u5176\u300a\u51e0\u4f55\u539f\u672c\u300b\u4e2d\u7684\u8bc1\u6cd5\u3002
\u4ee5\u4e0a\u4e24\u4e2a\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u4e4b\u6240\u4ee5\u7cbe\u5f69\uff0c\u662f\u5b83\u4eec\u6240\u7528\u5230\u7684\u5b9a\u7406\u5c11\uff0c\u90fd\u53ea\u7528\u5230\u9762\u79ef\u7684\u4e24\u4e2a\u57fa\u672c\u89c2\u5ff5\uff1a
\u2474 \u5168\u7b49\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\uff1b
\u2475 \u4e00\u4e2a\u56fe\u5f62\u5206\u5272\u6210\u51e0\u90e8\u5206\uff0c\u5404\u90e8\u5206\u9762\u79ef\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u539f\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002
\u8fd9\u662f\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u63a5\u53d7\u7684\u6734\u7d20\u89c2\u5ff5\uff0c\u4efb\u4f55\u4eba\u90fd\u80fd\u7406\u89e3\u3002
\u6211\u56fd\u5386\u4ee3\u6570\u5b66\u5bb6\u5173\u4e8e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bba\u8bc1\u65b9\u6cd5\u6709\u591a\u79cd\uff0c\u4e3a\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u4f5c\u7684\u56fe\u6ce8\u4e5f\u4e0d\u5c11\uff0c\u5176\u4e2d\u8f83\u65e9\u7684\u662f\u8d75\u723d\uff08\u5373\u8d75\u541b\u537f\uff09\u5728\u4ed6\u9644\u4e8e\u300a\u5468\u9ac0\u7b97\u7ecf\u300b\u4e4b\u4e2d\u7684\u8bba\u6587\u300a\u52fe\u80a1\u5706\u65b9\u56fe\u6ce8\u300b\u4e2d\u7684\u8bc1\u660e\u3002\u91c7\u7528\u7684\u662f\u5272\u8865\u6cd5\uff1a
\u5982\u56fe\uff0c\u5c06\u56fe\u4e2d\u7684\u56db\u4e2a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u6d82\u4e0a\u6731\u8272\uff0c\u628a\u4e2d\u95f4\u5c0f\u6b63\u65b9\u5f62\u6d82\u4e0a\u9ec4\u8272\uff0c\u53eb\u505a\u4e2d\u9ec4\u5b9e\uff0c\u4ee5\u5f26\u4e3a\u8fb9\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\u79f0\u4e3a\u5f26\u5b9e\uff0c\u7136\u540e\u7ecf\u8fc7\u62fc\u8865\u642d\u914d\uff0c\u201c\u4ee4\u51fa\u5165\u76f8\u8865\uff0c\u5404\u4ece\u5176\u7c7b\u201d\uff0c\u4ed6\u80af\u5b9a\u4e86\u52fe\u80a1\u5f26\u4e09\u8005\u7684\u5173\u7cfb\u662f\u7b26\u5408\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u3002\u5373\u201c\u52fe\u80a1\u5404\u81ea\u4e58\uff0c\u5e76\u4e4b\u4e3a\u5f26\u5b9e\uff0c\u5f00\u65b9\u9664\u4e4b\uff0c\u5373\u5f26\u4e5f\u201d\u3002
\u8d75\u723d\u5bf9\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\uff0c\u663e\u793a\u4e86\u6211\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u9ad8\u8d85\u7684\u8bc1\u9898\u601d\u60f3\uff0c\u8f83\u4e3a\u7b80\u660e\u3001\u76f4\u89c2\u3002
\u897f\u65b9\u4e5f\u6709\u5f88\u591a\u5b66\u8005\u7814\u7a76\u4e86\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u7ed9\u51fa\u4e86\u5f88\u591a\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\uff0c\u5176\u4e2d\u6709\u6587\u5b57\u8bb0\u8f7d\u7684\u6700\u65e9\u7684\u8bc1\u660e\u662f\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u7ed9\u51fa\u7684\u3002\u636e\u8bf4\u5f53\u4ed6\u8bc1\u660e\u4e86\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u4ee5\u540e\uff0c\u6b23\u559c\u82e5\u72c2\uff0c\u6740\u725b\u767e\u5934\uff0c\u4ee5\u793a\u5e86\u8d3a\u3002\u6545\u897f\u65b9\u4ea6\u79f0\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u4e3a\u201c\u767e\u725b\u5b9a\u7406\u201d\u3002\u9057\u61be\u7684\u662f\uff0c\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u65e9\u5df2\u5931\u4f20\uff0c\u6211\u4eec\u65e0\u4ece\u77e5\u9053\u4ed6\u7684\u8bc1\u6cd5\u3002
\u4e0b\u9762\u4ecb\u7ecd\u7684\u662f\u7f8e\u56fd\u7b2c\u4e8c\u5341\u4efb\u603b\u7edf\u4f3d\u83f2\u5c14\u5fb7\u5bf9\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u3002
\u5982\u56fe\uff0c
S\u68af\u5f62ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)\uff0c \u2460
\u53c8S\u68af\u5f62ABCD=S\u25b3AED+S\u25b3EBC+S\u25b3CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)\u3002 \u2461
\u6bd4\u8f83\u4ee5\u4e0a\u4e8c\u5f0f\uff0c\u4fbf\u5f97
a2+b2=c2\u3002
\u8fd9\u4e00\u8bc1\u660e\u7531\u4e8e\u7528\u4e86\u68af\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u548c\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u8bc1\u660e\u76f8\u5f53\u7b80\u6d01\u3002
\u6211\u662f\u4e00\u4f4d\u6570\u5b66\u8001\u5e08\uff0c\u6211\u7ed9\u4f60\u8bb2\u4e00\u4e0b\u3002
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8fd9\u4e2a\u4e1c\u897f\u771f\u7684\u662f\u975e\u5e38\u7b80\u5355\u7684\uff0c\u4f60\u4ee5\u540e\u4f1a\u5b66\u5230\u51fd\u6570\uff0c\u4f60\u5c31\u4f1a\u53d1\u73b0\u7684\u3002\u5173\u952e\u662f\u4f60\u8981\u6d3b\u7528a^2+b^2=c^2\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u7406\u3002
\u96be\u9898\u5e76\u4e0d\u662f\u5b83\u51fa\u7684\u96be\uff0c\u800c\u662f\u5b83\u8003\u70b9\u591a\uff0c\u5982\u679c\u4f60\u80fd\u5c06\u5b83\u9010\u4e2a\u51fb\u7834\uff0c\u90a3\u4e48\u96be\u5ea6\u5c31\u4f1a\u7834\u89e3\u4e86\u3002
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\u4e00\u822c\u8003\u8bd5\u8fd9\u4e48\u8003\uff0c
\u5df2\u77e5\u25b3ABC\u4e2d\u2220C=90\u00b0\uff0cBC=5\uff0cAC=12\uff0c\u6c42AB\u7684\u503c\u3002
\u975e\u5e38\u7b80\u5355\uff0c\u4f60\u53ea\u8981\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u5c31\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u6c42\u51fa\u4e86\uff1a
\u2235\u2220C\u7684\u5bf9\u8fb9\u662fAB\uff0c\u6240\u4ee5AB\u662f\u659c\u8fb9\u3002
\u2235\u25b3ABC\u4e2d\uff0c\u2220C=90\u00b0
\u2234AB^2=BC^2+AC^2
\u2234AB=13
\u8fd8\u6709\uff0c\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8003\u8bd5\u7684\u65f6\u5019\u4f1a\u7528\u6765\u5224\u5b9a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u4f60\u8981\u8bb0\u4f4f\uff0c
\u4eba\u5bb6\u95ee\u4f60\uff1a
\u5f53\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6ee1\u8db3a^2+b^2=c^2\u662f\u4ec0\u4e48\u4e09\u89d2\u5f62\uff1f
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u9006\u5b9a\u7406\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\uff1a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u6211\u8fd8\u53ef\u4ee5\u7ed9\u51fa\u51fa\u4e00\u4e2a\u53d8\u5f0f\u9898\uff1a
\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u6ee1\u8db3
\uff08a-3\uff09^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u4ec0\u4e48\u4e09\u89d2\u5f62\uff1f
\u5f88\u5bb9\u6613\u89e3\u51fa\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u8fd8\u6709\u4e00\u4e2a\u52fe\u80a1\u6570\u7684\u6982\u5ff5\uff0c\u53ea\u8981\u6ee1\u8db3a^2+b^2=c^2\u7684\u6b63\u6574\u6570\u5c31\u662f\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u6ce8\u610f\u662f\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u5982\u679c\u662f\u96f6\u70b9\u51e0\u7684\u6570\u5b57\uff0c\u5b83\u4eec\u867d\u7136\u53ef\u4ee5\u6784\u6210\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u4f46\u4e0d\u662f\u52fe\u80a1\u6570\u3002
\u5224\u65ad\u52fe\u80a1\u6570\u662f\u6709\u6280\u5de7\u7684\uff0c\u8b6c\u5982\u8bf4\u4eba\u5bb6\u95ee\u4f6015,20,25\u662f\u4e0d\u662f\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u7528\u5de7\u5999\u7684\u65b9\u6cd5\u7b97\uff1a15=5*3,20=5*4,25=5*5\uff0c\u22353,4,5\u662f\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u6240\u4ee515,20,25\u662f\u52fe\u80a1\u6570\u3002
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\u8001\u5e08\u5e2e\u4f60\u628a\u5404\u79cd\u9898\u578b\u5f52\u7eb3\u4e86\u4e00\u4e0b\uff0c\u61c2\u4e86\u5417\uff1f
1.1探索勾股定理
专题一 有关勾股定理的折叠问题
1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________MN）；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是______________．（不要求证明）
① ② ③
专题二 勾股定理的证明
4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．
问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．
问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．
问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．
5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图① 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．
勾三股四炫五
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