高数 多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程" 高数题:求椭圆面x^2+2y^2+z^2=1平行于平面x-y...

\u6c42\u692d\u7403\u9762x^2+2y^2+z^2=1\u4e0a\u5e73\u884c\u4e8e\u5e73\u9762x-y+2z=0\u7684\u5207\u5e73\u9762\u65b9\u7a0b\u3002

\u692d\u7403\u9762 f\uff08x\uff0cy\uff0cz\uff09=x^2+2y^2+z^2\uff1b

əf/əx=2x\uff1bəf/əy=4y\uff1bəf/əz=2z\uff1b
\u5373\u692d\u7403\u9762f\uff08x\uff0cy\uff0cz\uff09\u7684\u5207\u5e73\u9762\u6cd5\u5411\u91cf\u4e3a\uff082x,4y,2z)

\u5e73\u9762x-y+2z=0\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\u662f\uff081\uff0c-1\uff0c2\uff09\uff1b
\u5219\uff0c
2x/1=4y/\uff08-1\uff09=2z/2\uff1b
\u2192{
z=2x\uff1b
y=\uff08-1/2\uff09x\uff1b
\u4ee3\u5165\u692d\u7403\u9762\u65b9\u7a0b\u5f97\uff1a
x=\u00b1\u221a\uff082/11\uff09\uff1b
y=-\u00b11/\u221a22\uff1b
z=\u00b12\u221a\uff082/11\uff09\uff1b
\u5373\u5207\u70b9\u5750\u6807\u4e3a
\uff08\u221a\uff082/11\uff09\uff0c-1/\u221a22\uff0c2\u221a\uff082/11\uff09 \uff09\u548c\uff08-\u221a\uff082/11\uff09\uff0c1/\u221a22\uff0c-2\u221a\uff082/11\uff09 \uff09

\u5219\u5207\u5e73\u9762\u65b9\u7a0b\u4e3a
[x-\u221a\uff082/11\uff09]-\uff08y+1/\u221a22\uff09+2[z-2\u221a\uff082/11\uff09]=0
\u548c
[x+\u221a\uff082/11\uff09]-\uff08y-1/\u221a22\uff09+2[z+2\u221a\uff082/11\uff09]=0

\u5373
x-y+2z=\u00b1\u221a22/2

\u8bbe\u5207\u70b9\uff08x0,y0,z0\uff09
Fx=2x
Fy=4y
Fz=2z
\u6cd5\u5411\u91cf(2x0,4y0,2z0)
\u5373\uff1a\u5207\u5e73\u97622x0(x-x0)+4y0(y-y0)+2z0(z-z0)=0
\u5e73\u884c\u4e8e\u5df2\u77e5\u5e73\u9762
\u52192x0/1=4y0/-1=2z0/2
2x0=-4y0=z0
\u4ee3\u5165\u692d\u7403\u9762
\u5f97\u51fa\u5207\u70b9\uff08-\u221a2/11\uff0c\u221a1/22\uff0c-\u221a8/11\uff09\u6216\uff08\u221a2/11\uff0c-\u221a1/22\uff0c\u221a8/11\uff09
\u5207\u5e73\u9762-\u221a8/11(x+\u221a2/11)+\u221a8/11(y-\u221a1/22)-\u221a32/11(z+\u221a8/11)=0
\u6216\u221a8/11(x-\u221a2/11)-\u221a8/11(y+\u221a1/22)+\u221a32/11(z-\u221a8/11)=0
\u89e3\u5f97
\u5207\u5e73\u9762-(x+\u221a2/11)+(y-\u221a1/22)-2(z+\u221a8/11)=0
\u6216(x-\u221a2/11)-(y+\u221a1/22)+2(z-\u221a8/11)=0
\u5316\u7b80
-x+y-2z-\u221a(11/2)=0
\u6216x-y+2z-\u221a(11/2)=0

记 F=x^2+2y^2+z^2-1,   F'<x>=2x,    F'<y>=4y,    F'<z>=2z,设切点 (a, b, c),   则 切平面的法向量是 { a, 2b, c},故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t,    a=t,    b=-t/2,  c=2t。

由 a^2+2b^2+c^2=1  得 (11/2)t^2=1,   解得 t=±√(2/11),对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),切平面方程是  x-y+2z= √(11/2)。

含义

沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时,f趋近于0。然而,当变量x,y沿抛物线 y=x2趋近于原点时,f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同,故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y),对于每一个固定的y,f关于x的函数在其定义域内连续。同样的,对于每一个固定的x,f关于y的函数在其定义域也内连续,但这不能说明原函数连续。



记 F=x^2+2y^2+z^2-1,   F'<x>=2x,    F'<y>=4y,    F'<z>=2z,设切点 (a, b, c),   则 切平面的法向量是 { a, 2b, c},故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t,    a=t,    b=-t/2,  c=2t。

由 a^2+2b^2+c^2=1  得 (11/2)t^2=1,   解得 t=±√(2/11),对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),切平面方程是  x-y+2z= √(11/2)。

扩展资料

切线方程 a(x-a)+2b(y-b)+c(x-c)=0, 即 ax+2by+cz=1。对于 t=-√(2/11),a=-√(2/11), 2b=√(2/11),c=-2√(2/11),切平面方程是  x-y+2z= -√(11/2)。

简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导,复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式)。



记 F=x^2+2y^2+z^2-1, F'<x>=2x, F'<y>=4y, F'<z>=2z
设切点 (a, b, c), 则 切平面的法向量是 { a, 2b, c}
故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t
由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11).
切线方程 a(x-a)+2b(y-b)+c(x-c)=0, 即 ax+2by+cz=1
对于 t=√(2/11),a=√(2/11), 2b=-√(2/11),c=2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= √(11/2);
对于 t=-√(2/11),a=-√(2/11), 2b=√(2/11),c=-2√(2/11),
切平面方程是 x-y+2z= -√(11/2).

不对请指正。



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