二次型及其标准型
答：二次型化为标准型的方法如下：一、配方法 如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法...
答：二次型的标准形不是唯一的 但其正负惯性指数是唯一确定的 即标准形中平方项的系数正负个数不变 这就唯一确定它的规范形 比如:f = x1^2 - 2x2^2 令 y1=x1, y2=√2x2, 则 f = y1^2 - y2^2 g = 3x1^2 - 5x2^2 令 y1=√3x1, y2=√5x2, 则 g = y1^2 - y2^2 ...
答：x2²是平方项，x1x3是混合项。为了消除混合项x1x3，可以令x1=y1+y3，x3=y1-y3，从而用平方差公式化成平方项。再令x2=y2就可以得到标准形。在这个线性替换中，y的系数行列式不为零，所以所作的线性替换是非退化的。
答：不一样的。在将二次型化成标准型时，有俩种方法，一种是利用正交变换，另一种是用配方法，而初等变换只是这俩种方法其中的一个步骤而已。但是这俩种求得的结果是不一样的，这是因为在求解的过程中所设的正交矩阵是不一样的，这个是人为设置的，所以得到的结果不同。因为上述原因的存在，即便是用...
答：这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。由标准形知道正、负特征值的个数，即可直接写出规范形，至于标准形是用可逆的线性变换还是正交变换得到的，对特征值的正负有影响吗？这个二次型的矩阵是对角矩阵，特征值为-2,3,4，两正一负，所以规范形即得 ...
答：令 $y=Px$，则二次型可化为 $Q(x) = x^TAx = y^T(P^TAP)y = y^TDy$。如果对角线上的元素 $d_i$ 非零，则令 $z_i = \frac{y_i}{\sqrt{d_i}}$，则 $Q(x)$ 化为标准型 $Q(x) = z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_r^2$，其中 $r$ 为对角线上非零元素的个数...
答：正交变换法化二次型为标准型技巧是正交变换和配方法正交变换。正交变换法步骤：1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。2、求出A的所有特征值λ1,λ2,...,λn。3、求出对应于特征值的特征向量a1,a2,...,an。4、将特征向量正交化、单位化，得b1,b2,...,bn，记C=(b1,b2,......
答：他们的区别：1、标准型的系数在采用正交变换的时间,平方项的系数常用其特征值 规范形中平方项的系数都是 1 或 -1,正负项的个数决定于特征值正负数的个数 2、由标准形到规范形,只需将标准型中平方项的正系数改为 1,负系数改为 -1 正系数项放在前 即可 ...
答：x)=x^TAX用y表示，即Q(y)=(P^Tx)^TA(P^Tx)=y^T(P^TAP)y=y^TDy。5、化简后的二次型为标准型或规范形式。在对角矩阵D中，将平方项一个一个消去，没有平方项的地方可以创造平方项。6、得到可逆线性变换的具体形式。通过观察对角矩阵D中的特征值，可以得到变换矩阵P和变量之间的关系。
答：写出二次型f的矩阵之后，先求出二次型f 的所有特征值和特征向量再将特征向量单位正交化。进一步进行单位化 由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化 二次型就化为标准型了 这里的三个特征值为2，1，1 那么标准型f=2y1^2 +y2^2 +y3^2而规范型的意思就是特征值的正负号，即正负惯性指数...
网友评论：
雕沈19438372100：
线性代数,二次型及其标准型~求详细过程 -
40005禹建
： 掌握正交变换化二次型为标准形的方法,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所用的正交变换矩阵就是经过改造的二次型矩阵的特征向量. 具体步骤如下: 1、写出二次型矩阵A 2、求矩阵A的特征值(λ1,λ2,...,λn) 3、求矩阵A的特征向量(α1,α2,...,αn) 4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1,γ2,...,γn 5、构造正交矩阵P=(γ1,γ2,...,γn) 则经过坐标变换x=Py,得 f=xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
雕沈19438372100：
老师您好,问您个问题.普通的二次型与标准型之间有什么联系?是他们表示的值域相同吗? -
40005禹建
：[答案] 你好,普通的二次型广泛存在,而标准型只是一种特殊形式,任何普通的二次型均可化为标准型,不过要注意各项系数,因为普通型和标准型只是同一个函数的不同表现形式,本质为一个函数,故他们的值域相同,要注意定义域.
雕沈19438372100：
关于二次型的标准型2个二次型的标准型相同是什么意思?为什么2个二次型的标准型正负惯性指数相同就是标准型相同?能不能举个例子 -
40005禹建
：[答案] 二次型的标准形不是唯一的但其正负惯性指数是唯一确定的即标准形中平方项的系数正负个数不变这就唯一确定它的规范形比如:f = x1^2 - 2x2^2令 y1=x1,y2=√2x2,则 f = y1^2 - y2^2g = 3x1^2 - 5x2^2令 y1=√3x1,y2=√5...
雕沈19438372100：
二次型化为标准型的几种常见解法 -
40005禹建
：[答案] 有两种方法 正交变换和配方法 正交变换: 求出A的所有特征值和特征向量 将特征向量单位正交化 由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化,二次型就化为标准型了 配方法: 就按照完全平方公式配方
雕沈19438372100：
线性代数中,二次型化为标准型的结果是唯一的吗? -
40005禹建
：[答案] 当然不唯一. 化二次型为标准型,有两种方法 1.配方,配方只是用了某种坐标变换,得到标准型的系数,不一定是特征值 2.正交变换,得到的标准型系数一定是特征值. 况且,你可以随意的调换这些系数的位置,只要和你使用的变换矩阵的向量对应就...
雕沈19438372100：
二次型的标准形和规范形二者都是化成只含有平方的项,即平方和,区别在哪里呢? -
40005禹建
：[答案] 这里面详细讲解了二次型和标准型的区别,
雕沈19438372100：
矩阵所对应的二次型的标准形是() - 上学吧
40005禹建
： 当然是可以这样做的啊 二次型本来就有顺序问题的 但是其特征值都是一样的 而其二次型的标准型不会改变 矩阵的等价标准型只能用1,0,-1表示 那么当然只有一个
雕沈19438372100：
二次型的标准型矩阵的二次型怎么经过矩阵的初等变换而化成标准型,以及求出变换矩阵?请具体点,并配一道例题,链接也可以. -
40005禹建
：[答案] 构造上下两块的分块矩阵 A E 对其作初等列变换,同时对前n行作相应的初等行变换. 将上半块化成对角矩阵,下半块即为所求的变换矩阵C.
雕沈19438372100：
二次型x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的标准型 -
40005禹建
：[答案] f =x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3 = (x1+x2+x3)^2 = y1^2 C= 1 1 1 0 1 0 0 0 1 Y=CX
