奇异值分解定理
答：矩阵可以认为是一种线性变换，而且这种线性变换的作用效果与基的选择有关。 以Ax = b为例，x是m维向量，b是n维向量，m,n可以相等也可以不相等，表示矩阵可以将一个向量线性变换到另一个向量，这样一个线性变换的作用可以包含旋转、缩放和投影三种类型的效应。奇异值分解正是对线性变换这三种效应的一...
答：1. 矩阵范数的概念 设A∈Cm×n，定义一个实值函数||A||，若满足：(1) 非负性：||A||≥0，且||A||=0当且仅当A=0； (2) 齐次性：||aA||=|a| ||A||，a∈C； (3) 三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||，A,B∈ Cm×n; (4) 相容性：||AB||≤||A|| ||B||则...
答：主对角线是元素的和，线性代数中有定理：相似矩阵迹相等，而矩阵相似于它的Jordan标准型之后，迹就成为特征值的和，而从维达定理，一个方程根的和就是它的第二项系数的反号，用于特征多项式，就是你需要的结果。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵...
答：如果一个矩阵可逆，它的逆矩阵必然唯一，事实上。设A可逆，B,C都是A的逆，由矩阵可逆的定义知道 AB=BA=E，AC=CA=E 所以 B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C 故A若有逆，必然唯一。
答：定理：实数对称方阵可正交对角化。 一个 阶的实对称矩阵 ，存在一个对称对角化分解 其中 的列是特征向量且标准正交， 是对角阵，对角元素是 的特征值由大到小排列。设 ，矩阵 可写成 根据一个矩阵 求其正交对角阵分解的过程：奇异值分解( 这篇文章 也有相同的内容)(2021.01.27...
答：这个定理的数学表达是基于以下事实：一个矩阵及其转置矩阵的列空间的维数（即秩）代表了该矩阵线性独立列向量的最大可能数。一个矩阵的秩是它行向量或列向量的最大线性独立组的大小。矩阵及其转置的秩通常是相同的，因为它们的非零奇异值（即在奇异值分解中非零的对角线元素）的数量是相同的。定理 \(...
答：通过计算矩阵的秩和零空间的维数，我们可以确定矩阵是否可以进行奇异值分解，并且可以计算出奇异值的大小和方向。这对于信号处理、图像压缩和数据降维等领域具有重要的应用价值。此外，秩加零度定理还在矩阵的逆存在性和可逆性判断中起到了关键的作用。通过计算矩阵的秩和零空间的维数，我们可以确定一个矩阵...
答：谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f...
答：奇异值提取的核心思想是将被积函数中的奇异部分分离出来，使其可以利用之前的常规积分方法计算。例如，对于一个三维空间中的面积积分，我们可以通过分解来展示这个过程：当 为平面时：这里，奇异点是可去奇点，第一部分可以继续使用数值积分求解（公式1），而第二部分则可以解析求解。接下来，我们将重点关注...
答：A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0（方阵A的行列式不等于0）。给定一个 n 阶方阵 A，则下面的叙述都是等价的：A 是可逆的。A 的行列式不为零。A 的秩等于 n（A 满秩）。A 的转置矩阵 A也是可逆的。AA 也是可逆的。存在一 n 阶方阵 B 使得 AB = In。存在一 n 阶方阵 B 使得 BA...
网友评论：
戈忠18774868352：
什么是矩阵的奇异值分解? -
28597连岸
：[答案] 奇异值矩阵 奇异值矩阵分解 奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解,在信号处理、统计学等领域有重要应用. 定义:设A为m*n阶矩阵,的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值.记为. (A),则HA)^(1/2). 定理:(奇异值分解)设A为m*...
戈忠18774868352：
什么是特征值分解,奇异值分解和cholesky分解 -
28597连岸
： 矩阵的特征值分解和奇异值分解2008-04-07 20:17定理:(奇异值分解)设A为m*n阶复矩阵,则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V,使得: A = U*S*V' 其中S=diag(σi,σ2,……,σr),σi>0(i=1,…,r),r=rank(A).推论:设A为m*n阶实矩阵,则存在m阶正交阵...
戈忠18774868352：
奇异值分解的方法 -
28597连岸
： 假设M是一个m*n阶矩阵,其中的元素全部属于域 K,也就是 实数域或复数域.如此则存在一个分解使得 M = UΣV*, 其中U是m*m阶酉矩阵;Σ是半正定m*n阶对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n*n阶酉矩阵.这样的分解就称作M的奇异值分解.Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值. 常见的做法是为了奇异值由大而小排列.如此Σ便能由M唯一确定了.(虽然U和V仍然不能确定.)奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似.然而这两种矩阵分解尽管有其相关性,但还是有明显的不同.对称阵特征向量分解的基础是谱分析,而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广.
戈忠18774868352：
稀疏矩阵的奇异值分解有什么特点 -
28597连岸
： 特征值分解和奇异值分解的区别 所有的矩阵都可以进行奇异值分解,而只有方阵才可以进行特征值分解.当所给的矩阵是对称的方阵,A(T)=A,二者的结果是相同的.也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例.但是二者还是存在一些小的差异,奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序,而且全部是大于等于零.对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) , 即 A = v*d*inv(v) 对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C), C = u*s*v'. 若C阵为对称的方阵, 则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';
戈忠18774868352：
矩阵的奇异值是什么 -
28597连岸
： 奇异值分解即为SVD分解,具体见矩阵论.奇异值对应于矩阵的非零特征值,见《矩阵论》戴华版P139
戈忠18774868352：
线性代数/高等代数/数值分析 对角矩阵的特征向量是什么?原题是问实数上酉矩阵的奇异值是什么而根据奇异值分解定理(SVD定理),对于实数上酉矩阵A... -
28597连岸
：[答案] 对角阵的第k个对角元对应的特征向量是单位阵的第k列 酉阵的奇异值是1
戈忠18774868352：
如何理解矩阵特征值 -
28597连岸
： 从线性空间的角度看,在一个定义了内积的线性空间里,对一个N阶对称方阵进行特征分解,就是产生了该空间的N个标准正交基,然后把矩阵投影到这N个基上.N个特征向量就是N个标准正交基,而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长...
戈忠18774868352：
如何用奇异值分解的方法求解矩阵 -
28597连岸
： 利用奇异值分解可以压缩一个矩阵,但是对于一般的图像来说每个通道都是一个矩阵,所以不能直接用SVD. 对于A=UDV',如果要重排D的话直接交换U,V中相应的列就行了,相当于A=UP*P'DP*P'V'.一般来讲如果调用数学库中的函数的话D肯定是已经排好的. 补充: 给你举个例子,如果你要交换D(i,i)和D(j,j),那么同时把U的第i列和第j列交换一下,把V的第i列和第j列交换一下. 主流的数学库当中SVD都是LAPACK的实现,次序已经排好了.
戈忠18774868352：
奇异值分解的几何意义是什么? -
28597连岸
： 对任意m*n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U,V和一个广义对角阵(其中的对角元素就是奇异值),有了这样一个简单的描述后,对任意向量x, 对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了.这样的话,对于v阵的任一个元素Vi,经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi,这样就有了大家都知道的几何意义:当A是方阵时,其奇异值的几何意义是:若X是n维单位球面上的一点,则Ax是一个n维椭球面上的点,其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值.简单地说,在二维情况下,A将单位圆变成了椭圆,A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴.
戈忠18774868352：
情急哦,奇异值分解.请问:在matlab中对矩阵进行奇异值分解是使用[U,D,V]=SVD(A)函数,可以的得到矩阵A 的左奇异向量,而根据奇异值分解的原理,矩... -
28597连岸
：[答案] 参考答案:\x09随风潜入夜,润物细无声.
