《傅里叶光学（一）》复数、特殊函数和冲激函数

探索傅里叶光学的数学基石：复数、特殊函数与冲激函数</

在深入理解傅里叶光学的世界之前，我们先从基本的数学工具——复数开始。复数，这个看似神秘的概念，其实是我们理解许多物理现象的关键。它源于对实数域局限性的突破，引入后使函数定义域扩展至整个实数轴，极大地丰富了数学表达的灵活性。让我们一起揭开它的面纱：

复数的世界

首先，让我们定义一个复数：它由实部和虚部组成，两者都是实数。形象地看，它们就像二维平面中的正交轴，实部对应于直角坐标系中的x轴，虚部对应y轴</。通过这种形式，我们可以利用欧拉公式将复数写为极坐标形式：

z = r(\cosheta + i\sinheta)

复数的共轭，即实部不变，虚部取反，对理解运算至关重要。

复数运算的奥秘

复数的加法和乘法直接对应于平面几何中的向量相加和点乘，而极坐标形式在此时尤为便捷。例如，两个复数相乘时，只需简单地将极角相加，半径相乘：

对于幂和根，复数的独特性质使问题变得简单。比如，复数的幂具有与实数幂相同的运算规则，而根的求解则需要考虑角度的周期性，以确保所有可能的解都被包含。

在傅里叶光学中，特殊函数如阶跃函数、符号函数和斜坡函数，扮演着重要角色。它们的图形各有特点，如阶跃函数在x轴两侧的跳跃，符号函数的正负交替，都是理解信号变化的重要工具。

冲激函数：信号的瞬间触感

冲激函数，尽管名字中带“冲击”，却揭示了信号瞬间传递的特性。它是脉冲函数家族的一员，尽管形式各异，但共享着同样的核心特性——在极限情况下，它们的面积保持恒定。这种神奇的筛选和缩放性质，使得冲激函数在信号处理中不可或缺。

当我们研究这些函数的导数和积分时，会发现它们与阶跃函数紧密相连。通过对函数的微分，我们能够揭示信号变化的速率和积累效应，这对于傅里叶分析来说至关重要。

脉冲与冲激：信号的微分与极限

最后，脉冲与冲激函数的区别在于它们保持时间的极限。脉冲信号可以有非零的时间跨度，而冲激函数则要求其保持时间趋于零，这是它们在数学和物理领域中独特地位的体现。