第一二类曲线积分公式
第一二类曲线积分公式如下：
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；
例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号
在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。
引例
先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。
对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
量子力学
量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。
复分关系
如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。
绛旓細绗竴浜岀被鏇茬嚎绉垎鍏紡濡備笅锛氭洸绾跨Н鍒嗗垎涓猴細锛1锛夊寮ч暱鐨勬洸绾跨Н鍒嗭紙绗竴绫绘洸绾跨Н鍒嗭級锛2锛夊鍧愭爣杞寸殑鏇茬嚎绉垎锛堢浜岀被鏇茬嚎绉垎锛変袱绉嶆洸绾跨Н鍒嗙殑鍖哄埆涓昏鍦ㄤ簬绉垎鍏冪礌鐨勫樊鍒锛涘寮ч暱鐨勬洸绾跨Н鍒嗙殑绉垎鍏冪礌鏄姬闀垮厓绱燿s锛涗緥濡傦細瀵筁鐨勬洸绾跨Н鍒嗏埆f(x,y)*ds銆傚鍧愭爣杞寸殑鏇茬嚎绉垎鐨勭Н鍒嗗厓绱犳槸鍧愭爣鍏冪礌dx鎴杁y锛...
绛旓細绉垎鍏紡锛氭洸绾跨Н鍒嗗垎涓猴細锛1锛夊寮ч暱鐨勬洸绾跨Н鍒 锛绗竴绫鏇茬嚎绉垎锛夛紙2锛夊鍧愭爣杞寸殑鏇茬嚎绉垎锛堢浜岀被鏇茬嚎绉垎锛変袱绉嶆洸绾跨Н鍒嗙殑鍖哄埆涓昏鍦ㄤ簬绉垎鍏冪礌鐨勫樊鍒紱瀵瑰姬闀跨殑鏇茬嚎绉垎鐨勭Н鍒嗗厓绱犳槸寮ч暱鍏冪礌ds锛涗緥濡傦細瀵筁鐨勬洸绾跨Н鍒嗏埆f(x,y)*ds 銆傚鍧愭爣杞寸殑鏇茬嚎绉垎鐨勭Н鍒嗗厓绱犳槸鍧愭爣鍏冪礌dx鎴杁y锛屼緥濡傦細瀵筁鈥...
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝璇︽儏濡傚浘鎵绀
绛旓細绗竴鍨嬫洸绾跨Н鍒 鈭玞 f锛坸锛寉锛塪s 鏄洸绾胯川閲忥紙f鏄嚎瀵嗗害锛夋垨鏇茬嚎 涓嬬殑闈㈢Н锛坒鏄珮搴︼級 ds鏄竴灏忔绾垮厓闀垮害 绗浜屽瀷鏇茬嚎绉垎 W=鈭玞 F*dr=鈭玞 M*dx+N*dy銆鏄仛鍔 绗竴鍨嬫洸闈㈢Н鍒 鈭埆G f(x,y,z)dS 鏄洸闈㈣川閲忥紙f鏄洸闈㈢殑闈㈠瘑搴︼級 dS鏄洸闈笂鐨勪竴灏忓潡闈㈢Н 绗簩鍨鏇查潰绉垎...
绛旓細鍙渶灏绗竴绫绘洸绾跨Н鍒涓璬s鍒╃敤寮у井鍒鍏紡 杞寲涓哄潗鏍囪〃绀哄嵆鍙傜涓绫绘洸绾跨Н鍒嗘槸瀵瑰姬闀跨Н鍒嗭紝鍗冲畾涔夊湪寮ч暱涓,娌℃湁鏂瑰悜.濡傛眰闈炲瘑搴﹀潎鍖鐨勭嚎鐘剁墿浣撹川閲忋绗簩绫鏄鍧愭爣锛堟湁鍚戝姬闀垮湪鍧愭爣杞寸殑鎶曞奖锛夌Н鍒,鏈夋柟鍚.濡傝В鍐冲仛鍔熺被闂銆傚亣璁炬洸绾挎鍚戯紝涓よ呭彲浜掓崲锛屽姬闀垮厓dscos胃=dx,dssin胃=dy銆
绛旓細鏇茬嚎绉垎鍏紡锛歸=Gh銆傚湪鏁板涓紝鏇茬嚎绉垎鏄Н鍒嗙殑涓绉嶃傜Н鍒嗗嚱鏁扮殑鍙栧兼部鐨勪笉鏄尯闂达紝鑰屾槸鐗瑰畾鐨勬洸绾匡紝绉颁负绉垎璺緞銆傛洸绾跨Н鍒嗘湁寰堝绉嶇被锛屽綋绉垎璺緞涓洪棴鍚堟洸绾挎椂锛岀О涓虹幆璺Н鍒嗘垨鍥撮亾绉垎銆傛洸绾跨Н鍒嗗彲鍒嗕负锛绗竴绫鏇茬嚎绉垎鍜岀浜岀被鏇茬嚎绉垎銆傛洸绾匡紝鏄井鍒嗗嚑浣曞鐮旂┒鐨勪富瑕佸璞′箣涓銆傜洿瑙備笂锛屾洸绾垮彲鐪嬫垚...
绛旓細涓绫绘槸瀵归潰绉殑绉垎锛屼簩绫绘槸瀵瑰潗鏍囩殑銆傚憡璇変綘闈㈠瘑搴︼紝姹傞潰璐ㄩ噺锛屽氨鐢ㄤ竴绫汇傚憡璇変綘x,y,z鍒嗗埆鏂瑰悜涓婄殑娴侀燂紝鍛婅瘔浣犻潰鏂圭▼锛屾眰娴侀噺锛屽氨鐢绗簩绫銆傚悓鐞嗭紝x,y,z鏂瑰悜涔熸槸鍙互鍒嗗紑鐨勶紝鍒嗗紑浜嗕篃灏变笉闅剧悊瑙涓浜岀被鏇查潰绉垎鐨勫叧绯讳簡銆俓r\n浣犺鎶婁互涓婁袱鐐归兘鑳界悊瑙ｇ殑璇濓紝鍐嶅幓鐪嬮珮鏂鍏紡涓庢祦閲忥紝鏂墭鍏嬫柉鍏紡涓...
绛旓細1銆佸寮ч暱鐨鏇茬嚎绉垎锛绗竴绫锛夛紙1锛夊鏋淟鐢眣=y锛坸锛夌粰鍑猴紝x灞炰簬[a锛宐][鍏紡]锛2锛夊鏋淟鐢眡=x锛坹锛夌粰鍑猴紝y灞炰簬[c锛宒]锛孾鍏紡]锛3锛夊鏋淟鐢盵鍏紡]锛孾鍏紡][鍏紡]2銆佸鍧愭爣鐨勬洸绾跨Н鍒嗭紙绗簩绫锛夛紙1锛夊鏋淟鐢眣=y锛坸锛夌粰鍑猴紝x灞炰簬[a锛宐][鍏紡]锛2锛夊鏋淟鐢眡=x锛坹锛夌粰鍑猴紝y...
绛旓細1銆绗竴鍨鏇茬嚎绉垎鍙堢О瀵瑰姬闀跨殑鏇茬嚎绉垎锛屽叾绉垎鍙橀噺鏄井灏忓姬闀縟s锛岀Н鍒嗗尯鍩熸槸鏇茬嚎锛屼互浜岀淮鏇茬嚎涓轰緥锛岀Н鍒嗚〃杈惧紡涓衡埆f锛坸锛寉锛塪s銆2銆佸鏋滄妸琚Н鍑芥暟f锛坸锛寉锛夌悊瑙ｄ负鏇茬嚎鐘剁墿浣撶殑绾垮瘑搴︼紝鍒欑涓鍨嬫洸绾跨Н鍒嗙殑鐗╃悊鎰忎箟鏄洸绾跨姸鐗╀綋鐨勮川閲忋3銆佸湪鏁板涓紝鏇茬嚎绉垎鏄Н鍒嗙殑涓绉嶃傜Н鍒嗗嚱鏁扮殑鍙栧兼部鐨勪笉...
绛旓細1.瀹氫箟锛氭洸绾跨Н鍒嗘槸瀵逛竴鍏冨嚱鏁板湪涓鏉℃洸绾夸笂鐨勭Н鍒嗭紝閫氬父琛ㄧず涓衡埆Lf(x,y)dx+g(x,y)dy锛屽叾涓璍鏄洸绾跨殑鍙傛暟鍖栬〃绀猴紝f鍜実鏄緟姹傜殑鍑芥暟銆2.绫诲瀷锛氭牴鎹绉嚱鏁扮殑褰㈠紡锛屾洸绾跨Н鍒嗗彲浠ュ垎涓绗竴绫鏇茬嚎绉垎鍜岀浜岀被鏇茬嚎绉垎銆傜涓绫绘洸绾跨Н鍒嗙殑琚Н鍑芥暟鍙寘鍚竴涓彉閲忥紝濡倄鎴杫锛涚浜岀被鏇茬嚎绉垎鐨勮绉嚱鏁...
