三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. （1）求B. 三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=...
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\uff081\uff09
\u5229\u7528\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406:a/sinA=b/sinB=c/sinC
\u2235 a=bcosC+csinB
\u2234 sinA=sinBcosC+sinCsinB
\u2235 sinA=sin[\u03c0-(B+C)]=sin(B+C)
\u2234 sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
\u2234 cosCsinB=sinCsinB
\u2234 tanB=1
\u2234 B=\u03c0/4
\uff082\uff09
S=(1/2)acsinB=(\u221a2/4)ac
\u5229\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406
4=a²+c²-2ac*cos(\u03c0/4)
\u2234 4=a²+c²-\u221a2ac\u22652ac-\u221a2ac
\u2234 ac\u22644/(2+\u221a2)=2(2+\u221a2)
\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=c\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb
\u2234 S\u7684\u6700\u5927\u503c\u662f(\u221a2/4)*2*(2+\u221a2)=\u221a2+1
\u7b80\u4ecb
\u4e09\u89d2\u5f62(triangle)\u662f\u7531\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u5185\u4e0d\u5728\u540c\u4e00\u76f4\u7ebf\u4e0a\u7684\u4e09\u6761\u7ebf\u6bb5\u2018\u9996\u5c3e\u2019\u987a\u6b21\u8fde\u63a5\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u5c01\u95ed\u56fe\u5f62\uff0c\u5728\u6570\u5b66\u3001\u5efa\u7b51\u5b66\u6709\u5e94\u7528\u3002
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\u5229\u7528\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406:a/sinA=b/sinB=c/sinC
\u2235 a=bcosC+csinB
\u2234 sinA=sinBcosC+sinCsinB
\u2235 sinA=sin[\u03c0-(B+C)]=sin(B+C)
\u2234 sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
\u2234 cosCsinB=sinCsinB
\u2234 tanB=1
\u2234 B=\u03c0/4
\uff082\uff09
S=(1/2)acsinB=(\u221a2/4)ac
\u5229\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406
4=a²+c²-2ac*cos(\u03c0/4)
\u2234 4=a²+c²-\u221a2ac\u22652ac-\u221a2ac
\u2234 ac\u22644/(2+\u221a2)=2(2+\u221a2)
\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=c\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb
\u2234 S\u7684\u6700\u5927\u503c\u662f(\u221a2/4)*2*(2+\u221a2)=\u221a2+1
（1）
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
（2）
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
利用余弦定理
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1
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1、利用余弦定理
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1
2、
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
cosCsinB=sinCsinB可以得出tanB=1这个很简单啊！利用正余弦和正切相互转换啊。
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