(高数极限问题)当x趋于0时,(tanx-sinx)/{e^(x^3)-1}的极限等于?答案是1/2,求过程。 高数求极限,如图limx->0 e^sinx-e^tanx ...
\u5927\u5b66 \u9ad8\u6570\u6781\u9650\u95ee\u9898 \u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u65f6,\u6c42(sinx-tanx)/sin(x^ 3)\u7684\u6781\u9650,\u5f88\u7740\u6025\u7684!lim (sinx-tanx)/sin(x³)
x\u21920
=lim x³(sinx-tanx)/x³sin(x³)
x\u21920
=lim (sinx-tanx)/x³
x\u21920
=lim sinx(1-secx)/x³
x\u21920
=lim (1-secx)/x²
x\u21920
=lim (cosx-1)/x²cosx
x\u21920
=lim (cosx-1)/x²
x\u21920
=-lim (1-cosx)/x²
x\u21920
=-lim 2sin²(x/2)/x²
x\u21920
=-lim ½sin²(x/2)/(x/2)²
x\u21920
=-½
\u5982\u56fe\u3002
lim[x-->0](tanx-sinx)/[e^(x^3)-1]
=lim[x-->0][x+x^3/3+o(x^3) -x+x^3/3!-o(x^3)]/x^3
=lim[x-->0][x^3/2+o(x^3) ]/x^3
=1/2
你的第一步就错了, e^(x^3)-1换为x^3是可以的,因为而这等价,并且与分子是相除关系。分子的sinx是不能换成x的,因为它与tanx是相减关系,等价无穷小替换只能用于乘除乘方,不能用于加减。如果您不换,直接用罗比塔法则是可以的,您试一下就知道了。
等价无穷小的替换,谁允许你分子只换sinx的?等价替换不能用於加减法你们老师没教过吗?
分母替换成x³,分子是tanx-sinx,一样可以整体替换
tanx=x+x³/3+o(x³),sinx=x-x³/6+o(x³)
∴tanx-sinx=x³/2+o(x³)
原式=lim(x→0)[x³/2+o(x³)]/x³=1/2
绛旓細瑙o細鍥犱负褰搙鈫0鏃讹紝sin3x鈫0锛2x鈫0銆傚張lim(x鈫0)(sin3x)/(2x) 锛娲涘繀杈炬硶鍒欙紝鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍚屾椂姹傚锛=lim(x鈫0)(3cos3x)/(2)=3/2 鍗冲綋x鈫0鏃讹紝(sin3x)/2x=3/2锛屽嵆sin3x=3/2*(2x)銆傛墍浠褰揦鈫0鏃讹紝sin3x鏄2x鐨3/2鍊嶃
绛旓細姝ら搴斾粠鈥滄棤绌峰皬鐨勬瘮杈冣濆紑濮嬪叆鎵嬪垎鏋愶紝瑕佹眰鈥渢anx鈥攕inx鈥濆叧浜庘渪鈥濈殑闃舵暟闂锛屽氨鏄眰鍓嶈呭叧浜庡悗鑰呯殑鍚岄樁鏃犵┓灏忋傚嵆锛褰搙瓒嬩簬0鏃讹紝浜岃呯殑姣斿肩殑鏋侀檺鏄釜甯告暟c銆傛墍浠ヨ繖灏辫浆鍖栨垚浜嗘眰鈥0闄0鈥濆瀷鐨鏋侀檺闂銆愬洜涓烘湁鏃犵┓灏忕殑瀹氫箟浣滅悊璁哄熀纭銆戙傛墍浠ユ鏋侀檺瀛樺湪涓斾负甯告暟锛屽彲璁緓鐨勬鏁般愰樁鏁般戜负n锛岀敤...
绛旓細cosx=1-x^2/2+o(x^2)e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)鎵浠^x-x-cosx=1+x+x^2/2-x-[1-x^2/2]+o(x^2)=x^2+o(x^2)鎵浠ユ槸 绛変环鏃犵┓灏 銆傛病瀛﹁繃浣犱篃鍙互姹鏋侀檺lim x->0 (e^x-x-cosx)/x^2 娲涘繀杈 =lim (e^x-1+sinx)/2x=lim(e^x+cosx)/2=1 ...
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝绛旀濡傚浘鎵绀
绛旓細lim(x鈫0)x路sin(1/x)=0 (x鈫0鏃 x涓烘棤绌峰皬锛寍sin(1/x)|鈮1,鏄湁鐣岄噺锛屾晠鏋侀檺=0锛夈俵im(x鈫掆垶)x路sin(1/x)=lim(1/x鈫0)sin(1/x)/(1/x)=1 绗竴鏉¢噸瑕佹瀬闄愩傗滄瀬闄愨濇槸鏁板涓殑鍒嗘敮鈥斺斿井绉垎鐨勫熀纭姒傚康锛屽箍涔夌殑鈥滄瀬闄愨濇槸鎸団滄棤闄愰潬杩戣屾案杩滀笉鑳藉埌杈锯濈殑鎰忔濄傛暟瀛︿腑鐨...
绛旓細鐢ㄥ畾涔夎瘉鏄巠=x/(1+x),褰搙瓒嬪悜浜0鏃朵负鏃犻檺灏 瀵逛簬x/(1+x),褰搙瓒嬩簬0鏃讹紝鍒嗗瓙涓0锛屽垎瀛愪负1锛堜笉涓0锛锛屾墍浠ユ湁y=0涓烘棤闄愬皬銆傚畾涔夎鐨勫氨鏄細褰搙=i锛坕涓烘棤闄愬皬鐨勪竴涓暟锛夋椂锛屾棤璁篿鏈夊灏忥紝鍦▁瓒嬩簬0鐨勬煇涓鏃跺埢锛岃繕鏈夋瘮i鏇村皬鐨勬暟銆傚氨鏄x鍙互涓烘棤闄愬皬浠ヨ嚦浜庡彲鐪嬫垚x=0 ...
绛旓細褰搙鈫0鏃,sinx=x tanx=x arcsinx=x arctanx=x 1-cosx=1/2x^2 a^x-1=xlna e^x-1=x ln(1+x)=x
绛旓細鏄晩銆x瓒嬩簬0鏃跺欙紝姹傛瀬闄愶紝鍙互杩愮敤绛変环鏃犵┓灏忔潵姹傝В銆倄瓒嬩簬0鏃跺欙紝姹俧锛坸²/sin²x锛変篃鍙互浣跨敤绛変环鏃犵┓灏忔眰瑙c倄²鍜宻in²x鏄瓑浠锋棤绌峰皬锛屾墍浠ュ彲浠ユ眰寰楀嚱鏁扮殑鏋侀檺銆傜瓑浠锋棤绌峰皬锛楂樻暟涓父鐢ㄤ簬姹倄瓒嬩簬0鏃跺欐瀬闄锛屽綋鐒讹紝x瓒嬩簬鏃犵┓鐨勬椂鍊欎篃鍙眰锛岃浆鍖栨垚鍊掓暟鍗虫垚涓虹瓑浠锋棤绌峰皬銆
绛旓細绗竴閬楂樼瓑鏁板鏋侀檺闂鍙互閲囩敤鐩存帴浠e叆娉曟眰瑙c傜浜岄亾楂樼瓑鏁板鏋侀檺闂鍙互閲囩敤绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹
绛旓細x瓒嬩簬0鏃讹紝1/x瓒嬩簬鏃犵┓锛宻in1/x鏄湁鐣屽嚱鏁帮紝鏍规嵁鏈夌晫鍑芥暟涓庢棤绌风殑涔樼Н杩樻槸鏃犵┓锛屾墍浠ユ湰棰樼粨鏋滄槸鏃犵┓銆傛湜閲囩撼