高数：当x趋于0时，求tanx-sinx关于x的阶数 (高数极限问题)当x趋于0时，(tanx-sinx)/{e^...

\u8003\u7814\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66 \u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u7684\u5e94\u7528lim(x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)

\u8fd0\u7528\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u6700\u597d\u91c7\u7528\u7b49\u5f0f\uff0c\u5373\u4ee3\u4f59\u9879\u3002\u5982\u679c\u4e0d\u5e26\u4f59\u9879\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u4fdd\u8bc1\u8fd0\u7b97\u540e\u7684\u5fc5\u8981\u7684\u67d0\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u6b63\u786e\u6027\u3002\u4ee5\u672c\u9898\u4e3a\u4f8b\uff0c\u5206\u6bcdx-sinx\u7684\u6700\u4f4e\u9879\u4e3ax^3\u9879\uff0c\u6240\u4ee5\u5404\u4e2a\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f0f\u90fd\u8981\u4fdd\u8bc1x^3\u9879\u662f\u6b63\u786e\u7684\u3002\u56e0\u6b64\u6709\uff1a
sinx=x-x^3/6+o(x^3)
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)
=x-x^3/3+o(x^3)
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)
=x+2/3 x^3+o(x^3)
lim(x-->0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)
=lim(x-->0)(x+2/3 x^3+o(x^3)-x+1/3 x^3-o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=6
\u4f60\u4e0a\u9762\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u5c31\u662f\u7528sinx\u4ee3\u66ff\u4e86sin(sinx),\u7528tanx\u4ee3\u66ff\u4e86tan(tanx), \u4e8c\u8005\u90fd\u4e0d\u80fd\u4fdd\u8bc1x^3\u9879\u7684\u6b63\u786e\u6027\u3002

\u3000\u3000\u6b63\u786e\u89e3\u6cd5\uff0c\u7528\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\uff0ctanx=x+x^3/3+o(x^3) sinx=x-x^3/3!+o(x^3) e^(x^3)-1=x^3
\u3000\u3000lim[x-->0](tanx-sinx)/[e^(x^3)-1]
\u3000\u3000=lim[x-->0][x+x^3/3+o(x^3) -x+x^3/3!-o(x^3)]/x^3
\u3000\u3000=lim[x-->0][x^3/2+o(x^3) ]/x^3
\u3000\u3000=1/2

\u3000\u3000\u4f60\u7684\u7b2c\u4e00\u6b65\u5c31\u9519\u4e86\uff0c e^(x^3)-1\u6362\u4e3ax^3\u662f\u53ef\u4ee5\u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u800c\u8fd9\u7b49\u4ef7\uff0c\u5e76\u4e14\u4e0e\u5206\u5b50\u662f\u76f8\u9664\u5173\u7cfb\u3002\u5206\u5b50\u7684sinx\u662f\u4e0d\u80fd\u6362\u6210x\u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u4e0etanx\u662f\u76f8\u51cf\u5173\u7cfb\uff0c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u53ea\u80fd\u7528\u4e8e\u4e58\u9664\u4e58\u65b9\uff0c\u4e0d\u80fd\u7528\u4e8e\u52a0\u51cf\u3002\u5982\u679c\u60a8\u4e0d\u6362\uff0c\u76f4\u63a5\u7528\u7f57\u6bd4\u5854\u6cd5\u5219\u662f\u53ef\u4ee5\u7684\uff0c\u60a8\u8bd5\u4e00\u4e0b\u5c31\u77e5\u9053\u4e86\u3002

此题应从“无穷小的比较”开始入手分析，要求“tanx—sinx”关于“x”的阶数问题，就是求前者关于后者的同阶无穷小。即：当x趋于0时，二者的比值的极限是个常数c。所以这就转化成了求“0除0”型的极限问题【因为有无穷小的定义作理论基础】。所以此极限存在且为常数，可设x的次数【阶数】为n，用待定系数法与求极限的方法结合，这样就产生了上述的方法。我是这样理解的，小明不行再看看别人的。

第一种方法用罗比得法则
第二种方法用三角变换
阶数是3

(tanx-sinx)=tanx(1-cosx)x趋于0时，tanx=x, 1-cosx=1/2x^2所以（tanx-sinx）=1/2x^3

楂樻暟:褰搙瓒嬩簬0鏃,姹倀anx-sinx鍏充簬x鐨勯樁鏁
绛旓細姝ら搴斾粠鈥滄棤绌峰皬鐨勬瘮杈冣濆紑濮嬪叆鎵嬪垎鏋愶紝瑕佹眰鈥tanx鈥攕inx鈥濆叧浜庘渪鈥濈殑闃舵暟闂锛屽氨鏄眰鍓嶈呭叧浜庡悗鑰呯殑鍚岄樁鏃犵┓灏忋傚嵆锛氬綋x瓒嬩簬0鏃讹紝浜岃呯殑姣斿肩殑鏋侀檺鏄釜甯告暟c銆傛墍浠ヨ繖灏辫浆鍖栨垚浜嗘眰鈥0闄0鈥濆瀷鐨勬瀬闄愰棶棰樸愬洜涓烘湁鏃犵┓灏忕殑瀹氫箟浣滅悊璁哄熀纭銆戙傛墍浠ユ鏋侀檺瀛樺湪涓斾负甯告暟锛屽彲璁緓鐨勬鏁般愰樁鏁般戜负n锛岀敤...

tanx鍦x瓒嬭繎浜0鐨勬瀬闄,涓轰粈涔堢瓑浠蜂簬x,姹杩囩▼,瑕佺敤澶у楂樻暟鏂规硶,鎵嶄笂...
绛旓細tanx=sinx/cosx 褰搙鈫0 tanx =sinx =x 鍜岃鍏紡锛歴in ( 伪 卤 尾 ) = sin伪 路 cos尾 卤 cos伪 路 sin尾 sin ( 伪 + 尾 + 纬 ) = sin伪 路 cos尾 路 cos纬 + cos伪 路 sin尾 路 cos纬 + cos伪 路 cos尾 路 sin纬 - sin伪 路 sin尾 路 sin纬 cos ( 伪 卤 尾 )...

鎬庝箞璇limtanX=0 褰揦鈫0鏃
绛旓細鍥炵瓟锛氬洜涓x瓒嬭繎浜0鏃,sinx=0 cosx=1 鑰tanx=sinx/cosx

鎬庝箞璇limtanX=0 褰揦鈫0鏃
绛旓細鍥犱负x瓒嬭繎浜0鏃讹紝sinx=0 cosx=1 鑰宼anx=sinx/cosx

楂樻暟绠鍗曢姹傚姪 杩欓鎬庝箞閿欎簡,瑕佹庝箞鏀?
绛旓細涓嶈兘 绗竴姝ュ埌绗簩姝ュ鍑轰竴涓x

tanx锝瀤浠涔堟剰鎬 楂樻暟
绛旓細x->0鏃秚anx鏄痻鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬銆傚嵆lim(x->0)tanx/x=1

鑰冪爺楂樻暟:褰搙瓒嬭繎浜0鏃,姹鏋侀檺:[tan(tan(x))-sin(sin(x))]\(x鐨勭珛鏂...
绛旓細lim [tan(tan(x))-sin(sin(x))]/x3 (x鈫0)=lim [sec^2 (tan(x)) * sec^2 (x) - cos(sin(x) * cosx)] / 3x^2 (褰搙鈫0鏃)锛堝綋x鈫0鏃讹紝sec^2 (x)鈫1锛宑osx鈫1锛屼唬鍏ュ垎瀛愬寲绠寰楋細锛 瑕佸嵆鏃跺寲绠锛岀渷鏃剁渷鍔 =lim [sec^2 (tanx) - cos(sin(x)) / 3x^...

楂樻暟濡備綍鐢ㄥ鏁板畾涔姹倀anx 鐨勫鏁?
绛旓細lim (tan(x+鈻硏)-tanx) / 鈻硏 =lim (sin(x+鈻硏)/cos(x+鈻硏)-sinx/cosx) / 鈻硏 =lim sin(x+鈻硏-x) / 鈻硏*cosx*cos(x+鈻硏)=lim sin鈻硏 / 鈻硏 * lim 1/cosx*cos(x+鈻硏)鏍规嵁閲嶈鐨勬瀬闄愶細lim sinx/x=1 =1*1/(cosx*cos(x+0))=1/cos^2x 鍥犳,(tanx)'=1/cos^...

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绛旓細鍥犱负褰搙瓒嬪悜浜0鐨勬椂鍊欙紝tan2x瓒嬪悜浜0锛2x涔熻秼鍚戜簬0锛0涓嶈兘鍋氶櫎鏁帮紝鎵浠ヨ繖鏃舵槸鏃犳硶寰楀嚭姝ゆ瀬闄愮殑鍊硷紝锛堜笉鏄0锛夛紝涓鑸鍒板悗闈細鍙戠幇锛屽浜庤繖绉0闄0鐨勬儏鍐靛ぇ澶氶兘鏄敤娲涘繀杈炬硶鍒欐眰鐨勶紝鍗冲鍥炬墍绀

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