高等数学等价无穷小的几个常用公式
只需证明((1+x)^x)/(1+x)趋于1(当x→0时)
即(1+x)^{x-1}趋于1
一个重要极限:(1+x)^{1/x}趋于e(当x→0时)
所以(1+x)^{x-1}
=(1+x)^{(1/x)x(x-1)}
=((1+x)^{1/x})^{x(x-1)}
趋于e^0=1
题1:高等数学等价无穷小的几个常用公式[数学]
当x→0时,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1
(a^x)-1~x*lna((a^x-1)/x~lna)
(e^x)-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x
loga(1+x)~x/lna
(1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,
在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换)。
扩展资料
等价无穷小一般只能用于乘除运算中的因式代换,不能随意用于和差运算:
两个同价而不等价的无穷小之差的每一项可进行等价无穷小代换,
例如当x→0时,tan5x-sin2x等价于5x-2x=3x,
但两个等价的无穷小之差的各项不能进行上述等价无穷小代换,
例如当x→0时,tanx-sinx不等价于x-x=0,
这是因为两个等价的无穷小之差是一个更高阶的无穷小(甚至为零),
而两个同价而不等价的无穷小之差仍与这两个无穷小同阶.
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