什么是反称矩阵?反称矩阵有什么性质？
反称矩阵设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。
对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
基本简介
斜对称矩阵的主对角线元素必是零，所以其迹数为零。行列式若A是的斜对称矩阵，其行列式满足若n是奇数，行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。若n是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方。
这个多项式叫A的Pfaffian。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。谱理论斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式出现，因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下：iλ1,?iλ1,iλ2,?iλ2,…，其中λk是实数。
实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法 用实矩阵来对角化。
绛旓細鍙嶇О鐭╅樀璁続涓簄缁存柟闃碉紝鑻ユ湁A'=-A锛屽垯绉扮煩闃礎涓哄弽瀵圭О鐭╅樀銆傚浜庡弽瀵圭О鐭╅樀锛屽畠鐨勪富瀵硅绾夸笂鐨勫厓绱犲叏涓洪浂锛岃屼綅浜庝富瀵硅绾夸袱渚у绉扮殑鍏冨弽鍙枫鍙嶅绉扮煩闃靛叿鏈夊緢澶氳壇濂界殑鎬ц川锛屽鑻涓哄弽瀵圭О鐭╅樀锛屽垯A'锛屛籄鍧囦负鍙嶅绉扮煩闃碉紱鑻,B鍧囦负鍙嶅绉扮煩闃碉紝鍒橝卤B涔熶负鍙嶅绉扮煩闃碉紱璁続涓哄弽瀵圭О鐭╅樀锛孊涓...
绛旓細鍙嶇О鐭╅樀鍜屽弽瀵圭О鐭╅樀鏄嚎鎬т唬鏁颁腑鐨勪袱涓噸瑕佹蹇銆傚弽绉扮煩闃碉紝涔熺О涓烘枩瀵圭О鐭╅樀锛屾槸鎸囦换鎰忎竴涓猲闃舵柟闃礎锛屾弧瓒矨鐨勮浆缃煩闃电瓑浜-A锛屽嵆A^T=-A銆傚弽绉扮煩闃电殑涓诲瑙掔嚎鍏冪礌閮戒负0銆傚弽瀵圭О鐭╅樀锛屼篃绉颁负浜ら敊鐭╅樀锛屾槸鎸囦换鎰忎竴涓猲闃舵柟闃礎锛屾弧瓒矨鐨勮浆缃煩闃电瓑浜-A锛屽嵆A^T=-A銆傚弽瀵圭О鐭╅樀鐨勪富瀵硅绾垮厓绱...
绛旓細鍙嶇О鐭╅樀鏄竴绉嶅弽瀵圭О鐭╅樀锛屾寚娆ф皬绌洪棿鐨勫弽瀵圭О鍙樻崲鍦ㄦ爣鍑嗘浜ゅ熀涓嬬殑鐭╅樀锛屽嵆鍏冪礌aij閮芥槸瀹炴暟锛屽苟涓攁ij=-aji(i锛宩=1锛2锛屸)锛宯鐨刵闃剁煩闃礎=(aij)銆傚弽绉扮煩闃垫湁浠ヤ笅鎬ц川锛1.A鐨勭壒寰佸兼槸闆舵垨绾櫄鏁帮紱2.|A|鏄竴涓潪璐熷疄鏁扮殑骞虫柟锛3.A鐨勭З鏄伓鏁帮紝濂囨暟闃跺弽瀵圭О鐭╅樀鐨勮鍒楀紡绛変簬闆躲
绛旓細鍙嶇О鐨勭煩闃典篃灏辨槸鍙嶅绉扮煩闃銆傚弽瀵圭О鐭╅樀鏄寚A= - AT(A鐨勮浆缃墠鍔犺礋鍙) 瀹冪殑绗厾琛屽拰绗厾鍒楀悇鏁扮粷瀵瑰肩浉绛夛紝绗﹀彿鐩稿弽銆 浜庢槸锛屽浜庡瑙掔嚎鍏冪礌锛孉(i,i)=-A(i锛宨),鏈2A(i锛宨)=0锛 鍦ㄩ潪鍋舵暟鍩熶腑锛屾湁A(i锛宨)=0銆傚弽瀵圭О鐭╅樀瀹氫箟鏄:A= - A鈥(A鐨勮浆缃墠鍔犺礋鍙)锛屽畠鐨勭i琛屽拰绗琲...
绛旓細鍙嶇О鐭╅樀鏄寚瀵圭О鐭╅樀鐨勭浉鍙嶆暟锛屽嵆鐭╅樀涓绉板厓绱犲彇鐩稿弽鏁板悗寰楀埌鐨勭煩闃銆傚弽绉扮煩闃电殑瀹氫箟寮忎负A'=-A銆傝璁＄畻鍙嶇О鐭╅樀锛屽彲浠ュ厛鏋勯犱竴涓绉扮煩闃碉紝鐒跺悗灏嗗叾姣忎釜瀵圭О鍏冪礌鍙栫浉鍙嶆暟鍗冲彲寰楀埌鍙嶇О鐭╅樀銆傚叿浣撴潵璇达紝瀵逛簬涓涓猲闃剁煩闃礎锛屽彲浠ヤ娇鐢ㄤ互涓嬪叕寮忚绠楀弽绉扮煩闃碉細B=(A-A')/2銆傚叾涓紝A'琛ㄧずA鐨勮浆缃煩闃...
绛旓細鍙嶅绉扮煩闃垫槸锛氭寚璁続涓簄缁存柟闃碉紝鑻ユ湁A'=-A锛屽垯绉扮煩闃礎涓哄弽瀵圭О鐭╅樀銆傚浜庡弽瀵圭О鐭╅樀锛屽畠鐨勪富瀵硅绾夸笂鐨勫厓绱犲叏涓洪浂锛岃屼綅浜庝富瀵硅绾夸袱渚у绉扮殑鍏冪礌鍙嶅彿銆1銆佸弽瀵圭О鐭╅樀鐨勭畻娉曪細杞疆锛欰鐨勮浆缃煩闃典负-A锛屽嵆(A^T) = -A銆傚姞娉曪細涓や釜鍙嶅绉扮煩闃电殑鍜屼粛涓哄弽瀵圭О鐭╅樀锛屽嵆濡傛灉A鍜孊閮芥槸鍙嶅绉扮煩闃碉紝...
绛旓細浠涔堝彨瀵圭О鐭╅樀鍜屽弽瀵圭О鐭╅樀锛屼粈涔堝彨瀵圭О鐭╅樀寰堝鏈嬪弸杩樹笉鐭ラ亾锛岀幇鍦ㄨ鎴戜滑涓璧风湅鐪嬪惂锛1銆佸绉扮煩闃碉紙SymmetricMatrices锛夋槸鎸囦互涓诲瑙掔嚎涓哄绉拌酱锛屽悇鍏冪礌瀵瑰簲鐩哥瓑鐨勭煩闃点傚湪绾挎т唬鏁颁腑锛屽绉扮煩闃垫槸涓涓柟褰㈢煩闃碉紝鍏惰浆缃煩闃靛拰鑷韩鐩哥瓑銆2銆1855骞达紝鍩冪背鐗(C.Hermite,1822-1901骞)璇佹槑浜嗗埆鐨勬暟瀛﹀鍙戠幇鐨...
绛旓細瀹炲绉鐭╅樀锛氬鏋滄湁n闃剁煩闃礎锛屽叾鐭╅樀鐨勫厓绱犻兘涓哄疄鏁帮紝涓旂煩闃礎鐨勮浆缃瓑浜庡叾鏈韩锛坅ij=aji锛(i,j涓哄厓绱犵殑鑴氭爣)锛屽垯绉癆涓哄疄瀵圭О鐭╅樀銆備富瑕佹ц川锛1銆佸疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勪笉鍚岀壒寰佸煎搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺鏄浜ょ殑銆2銆佸疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勭壒寰佸奸兘鏄疄鏁帮紝鐗瑰緛鍚戦噺閮芥槸瀹炲悜閲忋3銆乶闃跺疄瀵圭О鐭╅樀A蹇呭彲瀵硅鍖栵紝涓旂浉浼...
绛旓細0 ;鍥犱负A鏄弽绉扮煩闃锛屾牴鎹弽绉扮煩闃电殑閫氬紡:瀵硅绾夸笂鐨勫厓绱犲潎涓洪浂锛屽叾浠栨部瀵硅绾垮绉扮殑鍏冪礌浜掍负鐩稿弽鏁般傚皢A鍖栦负浜屾鍨嬬煩闃靛彲寰 A'涓洪浂鐭╅樀锛屽垯瀵逛换鎰忕殑x鍊煎潎涓洪浂
绛旓細鍙嶅绉扮煩闃靛叿鏈夋樉钁楃殑鎬ц川锛氶鍏堬紝鍙嶅绉扮煩闃电殑杞疆銆佹爣閲忓嶆暟鍜屽拰锛堟垨锛夌浉鍑忕殑缁勫悎浠嶇劧鏄弽瀵圭О鐭╅樀銆傚叾娆★紝濡傛灉A鏄弽瀵圭О鐭╅樀锛孊鏄绉扮煩闃碉紝瀹冧滑鐨勪箻绉箣宸瓵B-BA浼氭槸涓涓绉扮煩闃点傛澶栵紝濂囨暟闃剁殑鍙嶅绉扮煩闃佃鍒楀紡蹇呭畾涓洪浂锛屽叾鐗瑰緛鍊煎彧鑳芥槸0鎴栫函铏氭暟銆傜函铏氭暟鐗瑰緛鍚戦噺鐨勫疄閮ㄥ拰铏氶儴缁勬垚鐨勫悜閲忛暱搴︾浉绛変笖...
