三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案
试题一:
一、选择题
1. 下列各三角函数式中,值为正数的是 ( )
A. B. C. D.
2. 若=,且为锐角,则的值等于 ( )
A. B. C. D.
3. 若=,,则的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
4. 已知,则 ( )
A. B.
C. D.
5. a=,则成立的是 ( )
A. ab>c C. a
6. 函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
7. 下面三条结论:①存在实数,使成立;②存在实数,使成立;③若cosacosb=0,则其中正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 函数的值域是 ( )
A. [-2,2] B. [-1,2] C. [-1,1] D. [,2]
9. 函数y=-x·cosx的部分图象是( )
10. 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A. 非奇非偶函数
B. 仅有最小值的奇函数
C. 仅有最大值的偶函数
D. 既有最大值又有最小值的偶函数
二、填空题
1、函数的最小值等于 并使函数y 取最小值的x的集合为
2、若函数的图象关于直线对称,则
函数的值域为
3、已知函数
三、解答题
1、已知,求的值
2、在DABC中,已知三边满足,试判定三角形的形状。
试题二:
1、若sinα=-5/13,且α为第四象限角,tanα=?(文.6)
A.12/5 B.-12/5 C.5/12 D.-5/12
解析:主要考察基础知识。α是第四象限角,所以cosα为正,tanα为负。
cos2α=1-sin2α,且cosα是正数,所以cosα=12/13,tanα=sinα/cosα=-5/12,选D。
2、已知函数f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)
1)求f(x)的最小正周期
2)将f(x)的函数图像向右平移π/6个单位长度,再向下平移a个单位长度后得到g(x)的函数图像,且函数g(x)的最大值为2.
i)求g(x)的解析式
ii)证明存在无穷多互不相同个正整数x0,使得g(x0)>0.
解析:
1)函数的化简,可以看到两个式子都跟两倍角公式有关系,可以考虑先都变成两倍角。
f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)=10√3*(1/2*sinx)+10*(1/2*(cosx+1))
=5√3sinx+5cosx+5=10*(√3/2*sinx+1/2*cosx)+5
=10*(cosπ/6*sinx+sinπ/6*cosx)+5=10*sin(x+π/6)+5,(根据两角和公式)
所以f(x)的最小正周期为2π/ω=2π
2)
i)先是函数图像的变化问题
左加右减,右移是x变化,右移π/6就是把x变成x-π/6,变成
m(x)=10*sin(x-π/6+π/6)+5=10sinx+5.
上加下减,下移是函数值变化,下移a个单位就是函数值减a,变成
g(x)=10sinx+5-a.因为g(x)最大值为2,所以a=13.
g(x)=10sinx-8.
ii)g(x0)>0,也就是10sinx-8>0,sinx>4/5.
也就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得sinx>4/5.
直接求这个不等式的解集比较难,因为我们不知道sin多少=4/5,但我们可以就近找,可以发现√3/2>4/5,所以我们只需要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得sinx>√3/2即可。
sinx>√3/2的`解集为(π/3+2kπ,2/3π+2kπ)
先看(π/3,2π/3),区间长度为π/3>1,也就是这个区间内至少会有一个整数,比如这个区间的整数就是1.
每个(π/3+2kπ,2π/3+2kπ)的区间长度都是π/3>1,因此对于任意的正整数k,在(π/3+2kπ,2π/3+2kπ)之间内都存在正整数x0使得g(x)>0,因此就是存在无穷多互不相同个正整数x0,使得g(x0)>0。
难点在于正整数的理解,任何一个区间,只要长度大于1,中间肯定就会有一个整数。
3、若锐角三角形ABC的面积是10√3,AB=5,AC=8,求BC=?(数学.理)
解析:提到面积,很容易想到正弦定理。
正弦定理:a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D还有面积S=1/2*ab*sinC
S=1/2*AB*AC*sinA=10√3,代入数据求得sinA=√3/2,因此是锐角三角形,所以A=π/3,即60度。知道角和两条夹边,根据余弦定理可以求得对边。
a²=c²+b²-2bccosA,也就是BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA=25+64-80*1/2=49
BC=7
4、已知函数f(x)的图像是由g(x)=cosx经过以下变化得到:g(x)图像上所有点的纵坐标变成原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π/2个单位。
1)求f(x)的解析式,及对称轴方程。
2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)之间存在两个不同的解a,b。
i)求实数m的取值范围
ii)cos(a-b)=2m²/5-1.
解析:
1)还是图像变化老问题,g(x)图像上所有点的纵坐标变成原来的2倍(横坐标不变),就是函数值变为原来的2倍,也就是变成了2cosx。
再将所得的图像向右平移π/2个单位。左加右减,左右移动x变化,就是x变成x-π/2.于是有f(x)=2cos(x-π/2),有强迫症的还可以化简为f(x)=2cos(x-π/2)=2cos(π/2-x)=2sinx。
f(x)的对称轴就是f(x)的最大值很最小值,也就是x=π/2+kπ(k是整数)
2)先代入化简:f(x)+g(x)=m,2sinx+cosx=m,√5sin(x+φ)=m
辅助角公式:
二思考:存在两个不同的解是什么意思?如果是一元二次方程有个△可以看,三角函数在区间内有两个不同的解,从sinx的图像可以看到,在一个周期内,除了两个顶点之外,任意的值都存在两个x与之对应。
所以函数在[0,2π)之间存在两个不同的解a,b,只需要满足-√5
ii)cos(a-b)=2m²/5-1
a,b是方程2sinx+cosx=m,也就是√5sin(x+φ)=m的根。继续从函数图像上找找a,b的关系。可以看到a.b关于函数的某一条对称轴对称。
先求√5sin(x+φ)在[0,2π)之间的对称轴。sinx的对称轴为x=π/2+kπ(k是整数),sin(x+φ)是x+φ=π/2+kπ(k是整数)。
如果-√5
如果0<=m<√5,那么a,b就关于x+φ=π/2对称,同样得到a+b=2*(π/2-φ)=π-2φ。
接下去就要看转化了,因为a,b是√5sin(x+φ)=m的根,所以有√5sin(a+φ)=m,√5sin(b+φ)=m。
转化1:题干的左边转化
cos(a-b)=cos(a+φ-(b+φ))=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
转化2:我们已知条件的转化
-√5
两边正弦得,sin(a+φ)=sin(3π-(b+φ))=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
两边余弦得,cos(a+φ)=cos(3π-(b+φ))=cos(π-(b+φ))=-cos(b+φ)
0<=m<√5时,同样可以化简得到sin(a+φ)=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
cos(a+φ)=-cos(b+φ)
综合化简:
cos(a-b)=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
=-cos(b+φ)cos(b+φ)+sin(b+φ)sin(b+φ)
=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)
√5sin(b+φ)=m,sin(b+φ)=m/√5,sin²(b+φ)=m²/5
cos²(b+φ)=1-sin²(b+φ)=1-m²/5
所以cos(a-b)=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)=-(1-m²/5)+m²/5=2m²/5-1
证毕。
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绛旓細16 1.3/2 * 5^2 = 16.25 17 cosa = -5/13, tan a = -12/5 18 b/sinB = c/sinC, c = sinC/sinB * b = sqrt(2/3)*2 19 150 20 21 A = 4, w = pi/8, phi = pi/4