ln(1-x)的等价无穷小 当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小的证明
ln(1-x)\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u591a\u5c11x\u21920\uff0cln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1\uff1b
\u6545ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4f7f\u7528\u6761\u4ef6\uff1a\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u5728\u53bb\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u503c\u4e3a0\u3002\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u4f5c\u4e3a\u88ab\u4e58\u6216\u8005\u88ab\u9664\u7684\u5143\u7d20\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u4f46\u662f\u4f5c\u4e3a\u52a0\u51cf\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u5c31\u4e0d\u53ef\u4ee5\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6c42\u6781\u9650\u65f6\u4f7f\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6761\u4ef6\uff1a
1\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u5728\u53bb\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u503c\u4e3a0\u3002
2\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u4f5c\u4e3a\u88ab\u4e58\u6216\u8005\u88ab\u9664\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u53ef\u4ee5\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u4f46\u662f\u4f5c\u4e3a\u52a0\u51cf\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u5c31\u4e0d\u53ef\u4ee5\u3002
\u65e0\u7a77\u5c0f\u5c31\u662f\u4ee5\u6570\u96f6\u4e3a\u6781\u9650\u7684\u53d8\u91cf\u3002\u7136\u800c\u5e38\u91cf\u662f\u53d8\u91cf\u7684\u7279\u6b8a\u4e00\u7c7b\uff0c\u5c31\u50cf\u76f4\u7ebf\u5c5e\u4e8e\u66f2\u7ebf\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u786e\u5207\u5730\u8bf4\uff0c\u5f53\u81ea\u53d8\u91cfx\u65e0\u9650\u63a5\u8fd1\u67d0\u4e2a\u503cx0\uff08x0\u53ef\u4ee5\u662f0\u3001\u221e\u3001\u6216\u662f\u522b\u7684\u4ec0\u4e48\u6570\uff09\u65f6\uff0c\u51fd\u6570\u503cf\uff08x\uff09\u4e0e\u96f6\u65e0\u9650\u63a5\u8fd1\uff0c\u5373f\uff08x\uff09=0\uff0c\u5219\u79f0f\uff08x\uff09\u4e3a\u5f53x\u2192x0\u65f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e00\u79cd\u3002
\u5728\u540c\u4e00\u70b9\u4e0a\uff0c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u6bd4\u7684\u6781\u9650\u4e3a1\uff0c\u79f0\u8fd9\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u7b49\u4ef7\u7684\u3002\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u662f\u540c\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002\u4ece\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u6765\u8bf4\uff0c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u6210\u662f\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u5728\u96f6\u70b9\u5c55\u5f00\u5230\u4e00\u9636\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\u3002
lim(x\u21920) ln(1+x)/x
=lim(x\u21920) ln(1+x)^(1/x)
=ln[lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)]
\u7531\u4e24\u4e2a\u91cd\u8981\u6781\u9650\u77e5:lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)=e\uff1b
\u6240\u4ee5\u539f\u5f0f=lne=1,\u6240\u4ee5ln(1+x)\u548cx\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
\u65e0\u7a77\u5c0f\u5c31\u662f\u4ee5\u6570\u96f6\u4e3a\u6781\u9650\u7684\u53d8\u91cf\u3002\u7136\u800c\u5e38\u91cf\u662f\u53d8\u91cf\u7684\u7279\u6b8a\u4e00\u7c7b\uff0c\u5c31\u50cf\u76f4\u7ebf\u5c5e\u4e8e\u66f2\u7ebf\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u56e0\u6b64\u5e38\u91cf\u4e5f\u662f\u53ef\u4ee5\u5f53\u505a\u53d8\u91cf\u6765\u7814\u7a76\u7684\u3002\u8fd9\u4e48\u8bf4\u6765\u2014\u20140\u662f\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5e38\u6570\u3002\u4ece\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u6765\u8bf4\uff0c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u6210\u662f\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u5728\u96f6\u70b9\u5c55\u5f00\u5230\u4e00\u9636\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5b9a\u4e49
\uff08C\u4e3a\u5e38\u6570\uff09\uff0c\u5c31\u8bf4b\u662fa\u7684n\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c b\u548ca^n\u662f\u540c\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002\u7279\u6b8a\u5730\uff0cC=1\u4e14n=1\uff0c\u5373
\uff0c\u5219\u79f0a\u548cb\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u8bb0\u4f5ca\uff5eb\u3002
综述：x→0，ln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1；故ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。
极限：
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
参考资料来源：百度百科－等价无穷小
x→0，ln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1；
故ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1
等价无穷小的使用条件：被代换的量，在去极限的时候极限值为0。被代换的量，作为被乘或者被除
的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
扩展资料：
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
您好
是-x，sin(-x),tan(-x)之类的
因为ln(1+x)的等价无穷小是x;sinx;tanx;e^x-1
又ln(1-x)=ln[1+(-x)]
所以得如上结论
x→0，ln(1+x)~x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1
故ln(1-x)~(-x)~sin(-x)~tan(-x)~arcsin(-x)~arctan(-x)~(e^(-x))-1
x;sinx;tanx;e^x-1@以上和式的相反数都是
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