球表面积公式如何推导 如何推导球的面积公式
\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u662f\u600e\u6837\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u7684\u6570\u5b66\u4e00\u5206\u949f \u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc\u8bc1\u660e
\u7403\u4f53\u9762\u79ef\u516c\u5f0fS=4\u03c0R²
\u221a\u8868\u793a\u6839\u53f7
\u628a\u4e00\u4e2a\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u4e0a\u534a\u7403\u6a2a\u5411\u5207\u6210n\uff08\u65e0\u7a77\u5927\uff09\u4efd\uff0c \u6bcf\u4efd\u7b49\u9ad8
\u5e76\u4e14\u628a\u6bcf\u4efd\u770b\u6210\u4e00\u4e2a\u7c7b\u4f3c\u5706\u53f0\uff0c\u5176\u4e2d\u534a\u5f84\u7b49\u4e8e\u8be5\u7c7b\u4f3c\u5706\u53f0\u9876\u9762\u5706\u534a\u5f84
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\u5176\u4e2dr(k)=\u221a[R^2-\ufe59kh\uff09^2],
h=R^2/{n\u221a[R^2-\ufe59kh\uff09^2}.
S(k)=2\u03c0r(k)h=(2\u03c0R^2)/n\u5219 S=S(1)+S(2)+\u2026\u2026+S(n)= 2\u03c0R^2;
\u4e58\u4ee52\u5c31\u662f\u6574\u4e2a\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef 4\u03c0R^2;
也可以利用周长公式计算球的表面积
√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积
S(k)=2πr(k)×h
其中r(k)=√[R^2-﹙kh）^2],
h=R^2/{n√[R^2-﹙kh）^2}.
S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;
乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;
引子
有一天一个朋友在微信群里发问：各位帮忙啊，儿子问球表面积和体积的公式怎么推导的，怎么用小学五年级能理解的语言解释这件事？
这真是个好问题。孩子的求知欲已经不满足死记硬背
想知道背后的原因。我的孩子尚小，还在理解加减法的阶段，问不出这么有深度的问题。不过我相信为人父母者，面对好学求知的孩子，一定都会知无不言、言无不尽吧。可是，怎么解释清楚呢？本文尝试梳理一下推导过程，看看能否用初等的数学解释，也算是一个挑战。闲话少说，且听慢慢道来。
长方形、三角形、梯形面积
先从长方形面积开始。大家都知道长方形的面积是底 *高，直观上不难理解：这就是数一数图中有多少单位小正方形而已。堆了 m 排小正方形，每排有 n 个，总数就是 m*n 个；每个小正方形的面积是1，所以总面积是 m*n。把整数 m,n 换成分数也一样成立，无非是以更小的正方形做单位来数而已。
把两个三角形或者两个梯形一正一反拼起来，得到了长方形。由此得到三角形的面积是长方形的一半， 也就是(底*高)/2，而梯形的面积是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以说，三角形是梯形面积公式的特例，三角形是上底 =0的梯形，长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了，它概括了全部三种情形。
图：两个直角梯形拼成长方形，摘自easycoursesportal.com
大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事，大家恐怕是耳熟能详了。高斯使用的等差数列求和公式，总和= (首项+末项)* 项数/2，本质上和梯形面积公式是一回事：首项、末项分别是上底和下底，项数是高。这个例子看出数学是广泛联系的整体，求数列和、求面积体积、求积分，都是一个东西，只是符号不同罢了。
斜三角形面积和祖暅原理
好学的孩子可能会马上指出，上面的做法计算三角形和梯形的面积，只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也成立？
简单的解释是斜三角形，一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形可以不断切掉斜角补到另一侧（有时可能要做多次），变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的面积也是底 * 高，上面三角形和梯形公式仍然成立。
图：平行四边形面积等于长方形面积，摘自 mathbits.com
然而有更好的解释：任意两个等高的图形，如果对应高度上的平行截线长度都相同，则它们的面积相同。这是个很强大的原理，并不限于三角形和梯形。而且在三维空间上也成立：任意两个等高的物体，如果对应高度上的平行截面积都相同，则它们的体积相同。
图：根据祖暅原理，左右两个图形面积相等，摘自 mathbits.com
这就是有名的祖暅原理，由南北朝时期的数学家祖暅之提出。祖暅之是祖冲之的儿子，他们父子都很了不起，是中国古代数学的骄傲。西方数学文献中，这个原理被归在十七世纪意大利数学家卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri）的名下。
祖暅原理不难理解：想象每个高度上，都
看看能否用初等的数学解释，也算是一个挑战。闲话少说，且听慢慢道来。
长方形、三角形、梯形面积
先从长方形面积开始。大家都知道长方形的面积是底 *高，直观上不难理解：这就是数一数图中有多少单位小正方形而已。堆了 m 排小正方形，每排有 n 个，总数就是 m*n 个；每个小正方形的面积是1，所以总面积是 m*n。把整数 m,n 换成分数也一样成立，无非是以更小的正方形做单位来数而已。
把两个三角形或者两个梯形一正一反拼起来，得到了长方形。由此得到三角形的面积是长方形的一半， 也就是(底*高)/2，而梯形的面积是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以说，三角形是梯形面积公式的特例，三角形是上底 =0的梯形，长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了，它概括了全部三种情形。
大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事，大家恐怕是耳熟能详了。高斯使用的等差数列求和公式，总和= (首项+末项)* 项数/2，本质上和梯形面积公式是一回事：首项、末项分别是上底和下底，项数是高。这个例子看出数学是广泛联系的整体，求数列和、求面积体积、求积分，都是一个东西，只是符号不同罢了。
斜三角形面积和祖暅原理
好学的孩子可能会马上指出，上面的做法计算三角形和梯形的面积，只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也成立？
简单的解释是斜三角形，一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形可以不断切掉斜角补到另一侧（有时可能要做多次），变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的面积也是底 * 高，上面三角形和梯形公式仍然成立。
祖暅原理不难理解：想象每个高度上，都被一个很细的小条覆盖住，小条的长度是这个高度上的截线长度，厚度是个很小的d 。所有小条的面积加起来就是图形的面积 —— 有些小误差，但是当 d -> 0 时误差就缩小到0，得到精确面积。既然这两个图形在每个高度上的截线长度都相同，对应的小条的面积也相同，所以总面积自然也一样。上述推理应用到三维空间也成立，只要把“截线长度”换成“截面面积”就好了。祖暅原理告诉我们，平行四边形面积和等底等高的长方形面积相等，因为每个高度的截线长度都相等。同理，等底等高的三角形（或梯形）的面积也是相等的，因为根据相似性，它们也满足祖暅原理的条件。
现在说体积。我们熟知棱柱或圆柱体积 =底面积 * 高，而棱锥和圆锥的体积，是同底同高的棱柱或圆柱体体积的1/3 ，也就是 底面积 * 高/3。为什么呢？
利用上面数方块的办法，知道长方体的体积 = 底面积 * 高。一个正方体，可以恰好切成三个全等的“直角金字塔”，每个金字塔的底面是正方体的一面，高是正方体的边长。所以底面为正方形、高为正方形边长的棱锥的体积为等底等高棱柱的1/3 。根据祖暅原理和相似性，很容易把这个结论推广到一般的棱锥和圆锥。这个规律甚至在更高的维度也成立， N维空间的球体积有如下的漂亮公式： 球体积=球表面积 * 半径/N。这里系数1/N 来自N 维空间中的“棱锥”（学名是单纯形）和对应的长方体（超矩形）的体积关系。看，原来球就是个底面自我封闭的棱锥，如此而已。
直接计算球表面积
另一件值得提及的事情，是有没有可能不通过体积，直接计算球表面积？事实上，球的表面积和一个半径为R，高度为2R的圆柱侧面积是一样的。下图左侧的球和右侧的圆柱半径相等，高度也相等，也就是球可以刚好装进这个圆柱里卡住。这个圆柱的侧面积（不包含上下底），很容易计算：
球的表面积计算公式推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S（k）=2πr（k）×h，其中r（k）=√[R^2-（kh）^2]，S（k）=2πr（k）h=（2πR^2）/n，则S=S（1）+S（2）+S（n）=2πR^2；乘以2就是整个球的表面积4πR^2。
球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，也叫做球体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做球心。连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球内接正方体的体对角线，就是这个球的直径。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离。
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