什么是单调增函数和单调减函数？
在数学中，单调增函数和单调减函数是指函数在定义域内的取值随着自变量的增大而增大或减小的特性。
单调增函数：如果在函数的定义域内，对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) ≤ f(x2)，即随着 x 的增大，函数的取值也随之增大，则该函数被称为单调增函数。
单调减函数：如果在函数的定义域内，对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) ≥ f(x2)，即随着 x 的增大，函数的取值也随之减小，则该函数被称为单调减函数。
f(x) = 2x 是一个单调增函数，因为随着 x 的增大，f(x) 的取值也随之增大。
g(x) = -3x 是一个单调减函数，因为随着 x 的增大，g(x) 的取值也随之减小。
图形上看，单调增函数的图像呈现逐渐上升的趋势，而单调减函数的图像呈现逐渐下降的趋势。注意，单调增函数可以在某些点上有平缓的区间，但整体趋势是增加的；单调减函数也可以在某些点上有平缓的区间，但整体趋势是减少的。
举例：
注意：当函数在某个区间上保持不变时，即 f(x1) = f(x2) 对于所有的 x1 和 x2 在该区间内成立，这个函数也可以被看作是单调增函数或单调减函数，因为在该区间上函数的取值是单调的。
绛旓細绠鑰岃█涔嬶紝鍗曡皟涓嶅噺鎰忓懗鐫鍑芥暟瑕佷箞缁存寔涓涓ǔ瀹氱殑姘村钩锛岃涔堝儚鍗曡皟閫掑閭ｆ牱绋虫涓婂崌锛屾病鏈変笅闄嶇殑杩硅薄銆傝繖绉嶆ц川浣垮緱瀹冨湪鍒嗘瀽鍑芥暟琛屼负鏃跺叿鏈夐噸瑕佺殑鐞嗚鎰忎箟锛屽洜涓哄畠鎺掗櫎浜嗗嚱鏁板肩殑涓嬮檷鍙兘鎬с傛荤粨鏉ヨ锛屽崟璋冮掑銆鍗曡皟閫掑噺鍜屽崟璋涓嶅噺鏄弿杩鍑芥暟鍗曡皟鎬у彉鍖栫殑涓夌鍩烘湰鏂瑰紡锛屽畠浠彮绀轰簡鍑芥暟鍊间笌鑷彉閲忎箣闂寸殑鍐呭湪...
绛旓細鎰忎箟锛氬嚱鏁扮殑鍗曡皟鎬у氨鏄殢鐫x鐨勫彉澶э紝y鍦ㄥ彉澶у氨鏄澧炲嚱鏁锛寉鍙樺皬灏辨槸鍑忓嚱鏁锛屽叿鏈夎繖鏍风殑鎬ц川灏辫鍑芥暟鍏锋湁鍗曡皟鎬э紝绗﹀彿琛ㄧず锛氬氨鏄畾涔夊煙鍐呯殑浠绘剰鍙杧1锛寈2锛屼笖x1锛渪2锛屾瘮杈僨锛坸1锛夛紝f锛坸2锛夌殑澶у皬,鍥惧儚涓婄湅浠庡乏寰鍙崇湅鍥惧儚鍦ㄤ竴鐩翠笂鍗囨垨涓嬮檷鐨勫氨鏄崟璋冨嚱鏁銆
绛旓細鐩稿弽鍦帮紝濡傛灉瀵逛簬灞炰簬I鍐呮煇涓尯闂翠笂鐨勪换鎰忎袱涓嚜鍙橀噺鐨勫紉1銆亁2锛屽綋x1锛渪2鏃堕兘鏈塮(x1)锛瀎(x2).閭ｄ箞灏辨槸f(x)鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄鍑忓嚱鏁銆俒缂栬緫鏈]鍗曡皟鎬涓庡崟璋鍖洪棿 鑻ュ嚱鏁皔=f(x)鍦ㄦ煇涓尯闂鏄鍑芥暟鎴栧噺鍑芥暟锛屽垯灏辫鍑芥暟鍦ㄨ繖涓鍖洪棿鍏锋湁锛堜弗鏍肩殑锛夊崟璋冩э紝杩欎竴鍖洪棿鍙仛鍑芥暟鐨勫崟璋冨尯闂淬傛鏃朵篃...
绛旓細涓ユ牸鍗曡皟鍑芥暟灏辨槸涓嶈兘鍖呭惈绔偣锛屽叾瀹氫箟鍩熺殑涓ょ鍙兘鏄紴鍙锋垨鑰咃紲鍙凤紝鑰屽崟璋冨嚱鏁板湪绔偣澶勫垯鍙彇绛夊彿锛屾瘮濡備竴涓紑鍙ｅ悜涓嬬殑浜屾鍑芥暟鍦ㄥ绉拌酱鐨勫乏杈瑰崟澧炲彸杈瑰崟鍑忥紝浣嗘槸鍦ㄥ绉拌酱鐨勫湴鏂规湰鏉ョ瓑鍙蜂袱鑰呯殕鍙彇锛屼絾鏄槸涓ユ牸鍗曡皟鐨勶紝鎵浠ョ瓑鍙锋垜浠彧鑳藉綊缁欏崟璋冨嚱鏁般傛ц川 涓ユ牸鍗曡皟鍑芥暟鐨勫浘鍍忎笌浠绘剰骞宠浜庤酱鐨勭洿绾胯嚦澶氭湁...
绛旓細閮芥湁f(x1) >f(x2)锛屽嵆鍦―涓婂叿鏈夊崟璋冩т笖鍗曡皟澧炲姞锛岄偅涔堝氨璇磃(x) 鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄鍑芥暟銆傜浉鍙嶅湴锛屽鏋滃浜庡睘浜庡畾涔夊煙D鍐呮煇涓尯闂翠笂鐨勪换鎰忎袱涓嚜鍙橀噺鐨勫紉1锛寈2鈭圖涓攛1>x2锛岄兘鏈塮(x1) <f(x2)锛屽嵆鍦―涓婂叿鏈夊崟璋冩т笖鍗曡皟鍑灏戯紝閭ｄ箞灏辫 f(x) 鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄噺鍑芥暟銆
绛旓細鍦ㄦ鍖洪棿涓婃槸澧炲嚱鏁銆傛鍖洪棿灏卞彨鍋氬嚱鏁癴(x)鐨鍗曡皟澧鍖洪棿锛岄殢鐫X澧炲ぇ锛孻澧炲ぇ鑰呬负澧炲嚱鏁般傝鍑芥暟f(x)鐨勫畾涔夊煙涓篋,濡傛灉瀵逛簬瀹氫箟鍩烡鍐呯殑鏌愪釜鍖洪棿涓婄殑浠绘剰涓や釜鑷彉閲忕殑鍊紉1,x2 ,褰搙1<x2鏃,閮芥湁f(x1)> f(x2),閭ｄ箞灏辫f(x)鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄噺鍑芥暟銆傞殢鐫X澧炲ぇ锛孻鍑忓皬鑰呬负澧炲嚱鏁般傛湜閲囩撼~...
绛旓細2. 鍑忓嚱鏁锛氫笌澧炲嚱鏁扮浉鍙嶏紝濡傛灉鍦ㄥ嚱鏁扮殑鍥惧儚涓婁粠宸﹀埌鍙冲嚱鏁板煎湪鍑忓皯锛岄偅涔堟垜浠氨绉拌繖涓嚱鏁颁负鍑忓嚱鏁般傚鏋滄偍鍦ㄥ浘涓婁粠涓婂埌涓嬬Щ鍔紝浼氬彂鐜板嚱鏁扮殑鍊煎湪鍑忓皯銆備緥濡傦紝鍑芥暟g(x) = -x鍦ㄥ叾瀹氫箟鍩熶笂灏辨槸涓涓噺鍑芥暟銆澧炲嚱鏁板拰鍑忓鍑芥暟鏄弿杩板嚱鏁板湪鍏跺畾涔夊煙涓鍑忔х殑鏈銆 甯屾湜鎴戠殑鍥炵瓟鑳藉缁欐偍甯︽潵甯姪...
绛旓細鍗曡皟閫掑噺鐨鍑忓崟璋冮掑鐨 鍑芥暟鐨勫崟璋冩ф槸鍑 涔樹笌闄ょ殑閮芥棤娉曠‘瀹 澶嶅悎鍑芥暟鐨勶細1.鍐呭眰涓庡灞傚崟璋冩х浉鍚岀殑涓哄 2.鍐呭眰涓庡灞傚崟璋冩т笉鍚岀殑涓哄噺 姝ｆ墍璋擄細鍚屽寮傚噺 鍙傝冭祫鏂:鍏充簬濂囧伓鎬:1.涓や釜濂囧嚱鏁扮殑鍜(宸)浠嶆槸濂囧嚱鏁,涓や釜鍋跺嚱鏁扮殑鍜(宸)浠嶆槸鍋跺嚱鏁.2.濂囧伓鎬х浉鍚岀殑涓や釜鍑芥暟鐨勭Н銆佸晢(鍒嗘瘝涓嶄负0)...
绛旓細锛2锛夎嫢a锛0,鍒欏嚱鏁癰锛媋f锛坸锛夊湪I涓婇掑噺锛庡嵆鍒ゆ柇F锛圶1锛-F(X2)锛堝叾涓璛1鍜孹2灞炰簬瀹氫箟鍩燂紝鍋囪X1<X2).鑻ヨ寮忓ぇ浜庨浂锛屽垯鍦ㄥ畾涔夊煙鍐匜(X)涓鍑忓嚱鏁锛涚浉鍙嶏紝鑻ヨ寮忓皬浜庨浂锛屽垯鍦ㄥ畾涔夊煙鍐呭嚱鏁颁负澧炲嚱鏁銆傦紙瑕佹敞鎰忕殑鏄湪瀹氫箟鍩熷唴锛屽嚱鏁版棦鍙兘涓哄鍑芥暟锛屼篃鍙兘涓哄噺鍑芥暟锛屽叿浣撴儏鍐佃鐪嬫眰鍑烘潵鐨剎鐨...
绛旓細i锛-x锛=f锛-x锛+g锛-x锛=-f锛坸锛-g锛坸锛=-锛坒锛坸锛+g锛坸锛夛級=-i锛坸锛塲锛坸锛=f锛坸锛-g锛坸锛塲锛-x锛=f锛-x锛-g锛-x锛=-f锛坸锛-锛-g锛坸锛夛級=-锛坒锛坸锛-g锛坸锛=-j锛坸锛夊鍑芥暟鍔狅紝鍑忓鍑芥暟浼氬彉鎴愬鍑芥暟銆傚姞鍋跺嚱鏁帮紝鍑忓伓鍑芥暟锛屼笉涓瀹氥澧炲嚱鏁板拰鍑忓嚱鏁鐨勫姞鍑忓叧绯...
