大一数学分析，函数极限证明限制问题（不计算，只是有些地方不懂，求解答） 数学分析（一）函数极限问题
\u5927\u4e00\u6570\u5b66\u5206\u6790\uff0c\u5173\u4e8e\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u8bc1\u660e\u5f53A\u4e0d\u662f0\u65f6 \u56e0\u4e3a\u4e14x\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u65f6f'\u8d8b\u4e8eA\uff0c\u6240\u4ee5\u5f53x\u4e3a\u6b63\u65e0\u7a77\u65f6f(x)\u4e3a\u65e0\u7a77\uff0c\u6240\u4ee5f(x)/x\u4e3a\u65e0\u7a77\u6bd4\u65e0
\u7a77\u578b\uff0c\u6240\u4ee5\u4e0a\u4e0b\u6c42\u5bfc\u53d8\u6210f'\uff0c\u6240\u4ee5limf(x)/x=limf'=A
\u5f53A\u662f0\u65f6 f(x)\u6052\u7b49\u4e8e\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\uff08\u8bbe\u4e3aC\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u539f\u5f0f\u5c31\u53ef\u4ee5\u5199\u6210limC/x,\u5f53x\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\u65f6\uff0c
limC/x\u5c31\u8d8b\u5411\u4e8e0\uff0c\u5373\u8d8b\u5411\u4e8eA\u3002
\u7efc\u4e0a\u6240\u8bf4 \u7ed3\u8bba\u5c31\u8bc1\u51fa\u6765\u5566
\u4e2a\u4eba\u770b\u6cd5 \u4f9b\u4f60\u53c2\u8003\u4e00\u4e0b
\uff081\uff09\u3001\u7531sinx~x\uff0cln(1+x)~x\uff0c\u2014\u2014\u300b
\u539f\u5f0f=limx\u21920 sinxln[1+(-x)]/2sin^2(x/2)
=limx\u21920 x*(-x)/2*(x/2)^2
=-1/(1/2)
=-2\uff1b
\uff082\uff09\u3001\u7531sinx~x\uff0ce^x-1~x\uff0c\u2014\u2014\u300b
\u539f\u5f0f=limx\u21920 [e^(-x^2)-1]/sin^2x
=limx\u21920 -x^2/x^2
=-1\u3002
从直观上将，ε和δ的主要矛盾集中于ε和δ都比较小的情况，但是定义里并没有直接说过这一点，所以在技术上需要把ε或δ可能会比较大的情况也考虑进去，如果要把它们归结为较小的情形就得自己加约束条件。
对于ε或δ的范围加上一定的限制，相当于加强了条件，这样才可以或者容易推出较强的结论，比如你这里的问题，不论如何至少得保证-2<=x<2吧，然后x离2太远了也不容易处理，既然δ是可以自己取的，何不取得小一点避免麻烦。过分一点，如果ε=10000，仅仅取δ=ε^2/4就没有任何意义。适当加强条件主要还是为了解决问题。
类似地还有不妨设0<ε<1的情况，大致是一个道理。
其实没有限制的，加入限制只是在不影响证明的情况下，为了更容易找到对应的δ，比如你的第二个例子，其实也可以认为没有限制，取δ＝min{1,ε^2/4}后，这样δ既小于1，又小于ε^2/4，这样我们在证明过程中，可以根据需要有时要它小于1，有时需要它小于ε^2/4。
当然你把它理解为限制也可以，因为δ反正是比较小的，限制一下对于问题的证明不会有影响，而容易让我们找到δ的取值。
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