如图，1的∞次方型极限，请问结果为啥是它？最后的h呢？ 1的无穷次方，这种类型的极限怎么求

\u9ad8\u6570\uff0c1\u7684\u65e0\u7a77\u6b21\u65b9\u578b\u6c42\u6781\u9650

1\u7684\u65e0\u7a77\u6b21\u6781\u9650\u5229\u7528e^lim[g(x)lnf(x)] \u4e0ee^a\u3002a=limf(x)g(x)\u8f6c\u5316\u540e\uff0c\u53ef\u5148\u5316\u7b80\uff0c\u518d\u5229\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u6216\u8005\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7b49\u6765\u6c42\u6781\u9650\u3002
1\u7684\u65e0\u7a77\u6b21\u65b9\u662f\u6781\u9650\u672a\u5b9a\u5f0f\u7684\u4e00\u79cd\uff0c\u672a\u5b9a\u5f0f\u662f\u6307\u5982\u679c\u5f53x\u2192x0(\u6216\u8005x\u2192\u221e)\u65f6\uff0c\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570f(x)\u4e0eg(x)\u90fd\u8d8b\u4e8e\u96f6\u6216\u8005\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u90a3\u4e48\u6781\u9650lim [f(x)/g(x)] (x\u2192x0\u6216\u8005x\u2192\u221e)\u53ef\u80fd\u5b58\u5728\uff0c\u4e5f\u53ef\u80fd\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u901a\u5e38\u628a\u8fd9\u79cd\u6781\u9650\u79f0\u4e3a\u672a\u5b9a\u5f0f\uff0c\u4e5f\u79f0\u672a\u5b9a\u578b\u3002\u672a\u5b9a\u5f0f\u901a\u5e38\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u6c42\u89e3\u3002
\u4f8b\u5982\uff1a
lim[x->1] x^log x
\u4fbf\u662f\u6b64\u79cd\u7c7b\u578b\u3002
\u76f8\u5e94\u7684
lim[x->0] x/sin(x) \u662f0/0\u7c7b\u578b\u3002
lim[x->0] x^x \u662f0^0\u7c7b\u578b\u3002
lim[x->\u221e] x/x \u662f\u221e/\u221e\u7c7b\u578b\u3002
lim[x->0] x*log x \u662f0*\u221e\u7c7b\u578b\u3002


\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5\u6709:
1\u3001\u5206\u5f0f\u4e2d\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u9664\u4ee5\u6700\u9ad8\u6b21\uff0c\u5316\u65e0\u7a77\u5927\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u8ba1\u7b97\uff0c\u65e0\u7a77\u5c0f\u76f4\u63a5\u4ee50\u4ee3\u5165\u3002
2\u3001\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u51cf\u53bb\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u6709\u7406\u5316\uff0c\u7136\u540e\u8fd0\u7528(1)\u4e2d\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
3\u3001\u8fd0\u7528\u4e24\u4e2a\u7279\u522b\u6781\u9650\u3002
4\u3001\u8fd0\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u4f46\u662f\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u7684\u8fd0\u7528\u6761\u4ef6\u662f\u5316\u6210\u65e0\u7a77\u5927\u6bd4\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u6216\u65e0\u7a77\u5c0f\u6bd4\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u8fd8\u5fc5\u987b\u662f\u8fde\u7eed\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570\u3002\u5b83\u4e0d\u662f\u6240\u5411\u65e0\u654c\uff0c\u4e0d\u53ef\u4ee5\u4ee3\u66ff\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u65b9\u6cd5\uff0c\u4e00\u697c\u8a00\u8fc7\u5176\u5b9e\u3002
5\u3001\u7528Mclaurin(\u9ea6\u514b\u52b3\u7433)\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\uff0c\u800c\u56fd\u5185\u666e\u904d\u8bef\u8bd1\u4e3aTaylor(\u6cf0\u52d2)\u5c55\u5f00\u3002
6\u3001\u7b49\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u5728\u56fd\u5185\u751a\u56a3\u5c18\u4e0a\uff0c\u56fd\u5916\u6bd4\u8f83\u51b7\u9759\u3002\u56e0\u4e3a\u4e00\u8981\u6b7b\u80cc\uff0c\u4e0d\u662f\u503c\u5f97\u63a8\u5e7f\u7684\u6559\u5b66\u6cd5\uff1b\u4e8c\u662f\u7ecf\u5e38\u4f1a\u51fa\u9519\uff0c\u8981\u7279\u522b\u5c0f\u5fc3\u3002
7\u3001\u5939\u6324\u6cd5\u3002\u8fd9\u4e0d\u662f\u666e\u904d\u65b9\u6cd5\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e0d\u53ef\u80fd\u653e\u5927\u3001\u7f29\u5c0f\u540e\u7684\u7ed3\u679c\u90fd\u4e00\u6837\u3002
8\u3001\u7279\u6b8a\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u5316\u4e3a\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u3002
9\u3001\u5176\u4ed6\u6781\u4e3a\u7279\u6b8a\u800c\u4e0d\u80fd\u666e\u904d\u4f7f\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u3002

1\u7684\u65e0\u7a77\u6b21\u6781\u9650\u5229\u7528e^lim[g(x)lnf(x)] \u4e0ee^a\uff0ca=limf(x)g(x)\u8f6c\u5316\u540e\uff0c\u53ef\u5148\u5316\u7b80\uff0c\u518d\u5229\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u6216\u8005\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7b49\u6765\u6c42\u6781\u9650\u3002
1\u7684\u65e0\u7a77\u6b21\u65b9\u662f\u6781\u9650\u672a\u5b9a\u5f0f\u7684\u4e00\u79cd\uff0c\u672a\u5b9a\u5f0f\u662f\u6307\u5982\u679c\u5f53x\u2192x0(\u6216\u8005x\u2192\u221e)\u65f6\uff0c\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570f(x)\u4e0eg(x)\u90fd\u8d8b\u4e8e\u96f6\u6216\u8005\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u90a3\u4e48\u6781\u9650lim [f(x)/g(x)] (x\u2192x0\u6216\u8005x\u2192\u221e)\u53ef\u80fd\u5b58\u5728\uff0c\u4e5f\u53ef\u80fd\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u901a\u5e38\u628a\u8fd9\u79cd\u6781\u9650\u79f0\u4e3a\u672a\u5b9a\u5f0f\uff0c\u4e5f\u79f0\u672a\u5b9a\u578b\u3002\u672a\u5b9a\u5f0f\u901a\u5e38\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u6c42\u89e3\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u552f\u4e00\u6027\uff1a\u82e5\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u6781\u9650\u503c\u662f\u552f\u4e00\u7684\uff0c\u4e14\u5b83\u7684\u4efb\u4f55\u5b50\u5217\u7684\u6781\u9650\u4e0e\u539f\u6570\u5217\u7684\u76f8\u7b49\u3002
2\u3001\u6709\u754c\u6027\uff1a\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u2019\u6536\u655b\u2018\uff08\u6709\u6781\u9650\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u6709\u754c\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u672a\u5fc5\u6536\u655b\u3002\u4f8b\u5982\u6570\u5217 \uff1a\u201c1\uff0c-1\uff0c1\uff0c-1\uff0c\u2026\u2026\uff0c(-1)n+1\u201d\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6781\u9650

考虑

lim(u->0) (1+u)^(1/u) = e

带入 u=[f(x+h)-f(x)]/f(x)

lim(h->0) { 1+ [f(x+h)-f(x)]/f(x)} ^{ f(x)/[ f(x+h)-f(x)] }

=e

lim(h->0) [1/f(x) ] . [f(x+h)-f(x)]/h

=f'(x)/f(x)

所以

lim(h->0) { 1+ [f(x+h)-f(x)]/f(x)} ^{ f(x)/[ f(x+h)-f(x)] }^ { [1/f(x) ] . [f(x+h)-f(x)]/h}

=e^[f'(x)/f(x)]

由上述结果，可知

lim(h->0) { 1+ [f(x+h)-f(x)]/f(x)} ^{ f(x)/[ f(x+h)-f(x)] }^ { [1/f(x) ] . [f(x+h)-f(x)]/h}

=e^[f'(x)/f(x)]

濡傚浘,1鐨勨垶娆℃柟鍨姹鏋侀檺,濡備綍鍖栦负甯1鐨勫紡瀛?
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