求f(x)=ln(1+x^2)的带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式，并求f(0)的n阶导函数的值。 求函数f(x)=ln(1-x)的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳...
\u5199\u51faf(x)=ln(1+x^2)\u7684\u5e26\u6709\u4f69\u4e9a\u8bfa\u578b\u4f59\u9879\u76846\u9636\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f\uff1ff(x) =1/(x-1)=(x-1)^(-1)
\u4e8e\u662f
f'(x) = -(x-1)^(-2), f''(x) = -(-2)(x-1)^(-3), \u00b7 \u00b7 \u00b7 , f^(n)(x) = (-1)^n*(n!)(x-1)^(n+1)
\u518d\u6c42x=0\u7684\u5404\u4e2a\u503c
f(0)=-1, f'(0)=-1, f''(0)=-2, ....f^(n)(0)=-n!
\u4ece\u800c\u5e26\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u578b\u4f59\u9879\u7684n\u9636\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f\u4e3a
1/(x-1)=-1-x-x²-...-x^n+o(x^n)
\u4e0d\u660e\u767d\u53ef\u4ee5\u8ffd\u95ee\uff0c\u5982\u679c\u6709\u5e2e\u52a9\uff0c\u8bf7\u9009\u4e3a\u6ee1\u610f\u56de\u7b54\uff01
所以
f(x)=ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-...+(-1)^(n-1)x^(2n)/n+o(x^(2n))
第二个问
y=ln(1+x^2)，y'=2x/(1+x^2)
(1+x^2)y'=2x
求n阶导，n大于1（n不等于1）
(1+x^2)y<n+1>(0)+2nxy<n>+n(n-1)y<n-1>=0
令x=0，得
y<n>=-(n-1)(n-2)y<n-2>
y<2>=2，y<3>=0，所以由递推关系
n为偶数时，y<n>=2(-1)^(n/2-1)*n!
n为奇数时，y<n>=0（n从3开始）
又n=1时，y<1>=0
综上所述
n为偶数时，y<n>=2(-1)^(n/2-1)*n!
n为奇数时，y<n>=0
绛旓細鍗曡皟閫掑 锛-1锛0锛塮鈥(x)<0 鍗曡皟閫掑噺 锛0锛屾鏃犵┓锛塮鈥(x)>0 鍗曡皟閫掑 锛2锛1/e>0 鍙堝洜涓f(x)鍦紙0锛屾鏃犵┓锛変笂鍗曡皟閫掑 鍗冲湪x灞炰簬銆1/e锛宔-1銆戜笂锛宖(x)max=f(e-1)鎵浠ヨ浣垮緱x灞炰簬銆1/e锛宔-1銆戞椂锛屼笉绛夊紡f锛坸锛灏忎簬m鎭掓垚绔 鍒檓<f(e-1)=(1+e-1)^2-ln(1+e-1...
绛旓細ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...+(-1)^(n-1)x^n/n+o(x^n)鎵浠 f(x)=ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-...+(-1)^(n-1)x^(2n)/n+o(x^(2n))绗簩涓棶 y=ln(1+x^2),y'=2x/(1+x^2)(1+x^2)y'=2x 姹俷闃跺,n澶т簬1锛坣涓嶇瓑浜1锛(1+x^2)y(0)+2nx...
绛旓細f=ln(1+x^2)f'=2x/(1+x^2)f''=2[(1+x^2)-2x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2f"'=2[-2x(1+x^2)^2-2(1-x^2)(2x)]/(1+x^2)^4=-4x[(1+x^2)^2+2(1-x^2)]/(1+x^2)^4=-4x[x^4+2x^2+1-2x^2+2]/(1+x^2)^4=-(12x+4x^5)/(1...
绛旓細2 鐢1寰楀嚱鏁f(x)=ln(1+x^2)鍦ㄥ尯闂(0,+鈭) 涓婂崟璋冮掑锛屾墍浠(x)鍊煎煙涓(ln(1+0^2),+鈭)鍗充负(0,+鈭) 锛屽彇涓嶅埌0锛屾墍浠ュ湪鍖洪棿鍐呮病鏈夋渶灏忓笺傚笇鏈涙湁甯姪鍒颁綘銆
绛旓細f''(x) =-1/(1+x)^2 => f''(0)/2! =-1/2 f'''(x) =2/(1+x)^3 => f'''(0)/3! =1/3 ln(1+x) = x -(1/2)x^2 +(1/3)x^3 +...x=x^2 ln(1+x^2) = x^2 -(1/2)x^4 +(1/3)x^6 +......
绛旓細璇佹槑f(x)=ln(1+x^2)鍦(-鈭,+鈭)涓婁竴鑷磋繛缁1涓洖绛 #鐑# 缃戞枃璐ㄩ噺鏄笉鏄笅闄嶄簡?闆惧厜涔嬫． 2014-12-01 路 TA鑾峰緱瓒呰繃3214涓禐 鐭ラ亾澶ф湁鍙负绛斾富 鍥炵瓟閲:1535 閲囩撼鐜:100% 甯姪鐨勪汉:1066涓 鎴戜篃鍘荤瓟棰樿闂釜浜洪〉 鍏虫敞 灞曞紑鍏ㄩ儴 宸茶禐杩 宸茶俯杩< 浣犲杩欎釜鍥炵瓟鐨勮瘎浠锋槸? 璇勮 ...
绛旓細f(x)=ln(1+x²)f'(x)=2x/(1+x²)f''(x)=[2(x²+1)-2x路2x]/(1+x²)²鎷愮偣x₁=-1 x₂=1 x鈭(-鈭,-1)鈭(1,+鈭) f''(x)<0 涓哄嚫鍖洪棿 x鈭(-1,1) f''(x)>0 涓哄嚬鍖洪棿 ...
绛旓細1銆佽f(x)=ln(1+x^2)-x+1 f'(x)=2x/(1+x^2)-1=-(1-x)^2/(1+x^2)<=0 鎵浠(x)鍗曡皟閫掑噺 f(0)=1 f(10)鈮-4.38 鎵浠ユ柟绋媗n锛1+x^2锛=x-1鏈変粎鍙湁涓涓疄鏍 2銆亂'=x^(5/3)-x^(-1/3)=x^(-1/3)*(x^2-1)=0 x=-1鎴杧=1 鎵浠ユ瀬鍊肩偣涓(-1,-9/8)...
绛旓細璁緐=1+x^2 閭ｄ箞f锛u锛=ln锛1+u锛夋墍浠y/dx=锛坉y/du锛夛紙du/dx锛=1/锛1+u锛2x =2x/(1+x^2)鎵浠ュ鏁颁负2x/锛1+x^2锛
绛旓細ln'(1+x^2)=ln'(fx)=1/f(x)*f'(x)=1/(1+x^2)*2x =2x/(1+x^2)姹傚鏄井绉垎鐨勫熀纭锛屽悓鏃朵篃鏄井绉垎璁＄畻鐨勪竴涓噸瑕佺殑鏀煴銆傜墿鐞嗗銆佸嚑浣曞銆佺粡娴庡绛夊绉戜腑鐨勪竴浜涢噸瑕佹蹇甸兘鍙互鐢ㄥ鏁版潵琛ㄧず銆傚瀵兼暟鍙互琛ㄧず杩愬姩鐗╀綋鐨勭灛鏃堕熷害鍜屽姞閫熷害銆佸彲浠ヨ〃绀烘洸绾垮湪涓鐐圭殑鏂滅巼銆佽繕鍙互琛ㄧず缁忔祹瀛︿腑...
