用向量方法证明三角形的余弦定理 证明题:利用向量的内积证明三角形的余弦定理
\u5982\u4f55\u7528\u5411\u91cf\u6cd5\u8bc1\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1f\u8bbe \u5728\u4e09\u89d2\u5f62abc\u4e2d,a\u5411\u91cf=b\u5411\u91cf-c\u5411\u91cf,\u6240\u4ee5a\u7684\u5e73\u65b9=b\u7684\u5e73\u65b9+c\u7684\u5e73\u65b9-2bc\u7684\u5411\u91cf\u3002 \u56e0\u4e3acos=bc\u7684\u5411\u91cf/bc\u5411\u91cf\u7684\u6a21,\u7ed3\u5408\u4e24\u5f0f\u5373\u53ef\u7684\u8bc1
\u4e0b\u9762a\u3001b\u3001c\u90fd\u8868\u793a\u5411\u91cf,|a|\u3001|b|\u3001|c|\u8868\u793a\u5411\u91cf\u7684\u6a21
\u56e0\u4e3aa=b-c
\u6240\u4ee5a^2\uff1d(b-c)^2 = b^2 +c^2 -2*bc
\u6240\u4ee5|a|^2\uff1d|b|^2 + |c|^2 -2*|b|*|c|*cosa
\u5176\u5b83\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8.
证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。
那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a
则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，
那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，
又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，
a^2=b^2+c^2-2bccosA。
同理可用向量证明得到，
b^2=a^2+c^2-2bccosB，
c^2=b^2+a^2-2bccosC。
上述即用向量证明了三角形的余弦定理。
扩展资料：
1、向量的运算
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。
（1）数量积
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么
a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。
a·b=|a|·|b|·cosA，
（2）向量的加法
a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)
（3）向量的减法
a+(-b)=a-b
2、正弦定理应用
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。
且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
参考资料来源：百度百科-向量
三角形ABC中,向量AB+BC=AC
两边平方,
AB^2+BC^2+2AB·BC=AC^2
注意:向量AB与BC夹角是角B的补角,所以
2AB·BC=2|AB||BC|cos(π-B)=-2|AB||BC|cosB,所以
AC^2=AB^2+BC^2-2|AB||BC|cosB
同理可证其余两式.
BC=AC-AB
BC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2
a^2=b^2-2bccosA+c^2
课本上的证明方法，你学会了吗？
绛旓細b^2=a^2+c^2-2bccosB锛宑^2=b^2+a^2-2bccosC銆備笂杩板嵆鐢ㄥ悜閲忚瘉鏄庝簡涓夎褰㈢殑浣欏鸡瀹氱悊銆
绛旓細鍏充簬鍚戦噺娉曡瘉鏄庝綑寮﹀畾鐞嗗垎浜涓嬶細浠や笁瑙掑舰ABC鐨勪笁涓鍒嗗埆涓衡垹A銆佲垹B銆佲垹C锛屽叾涓垹A瀵瑰簲鐨勮竟闀夸负a锛屸垹B瀵瑰簲鐨勮竟闀夸负b锛屸垹C瀵瑰簲鐨勮竟闀夸负c銆傛瘮渚嬪悜閲忔硶(method of ratio vector)鏄瀯浣渢璁捐鐨勪竴绉嶆柟娉曪紝闃垮皵鎵(W.O.Alltop)璇存槑浜嗗鏋淕鍦╔涓婄殑t姣斾緥鍚戦噺涓嶣鐨則姣斾緥鍚戦噺鐩稿悓锛屽垯(X锛孊)鏄竴涓猼...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊鏄钩闈笁瑙掑涓竴涓潪甯歌憲鍚嶇殑瀹氱悊锛瀹冩弿杩颁簡浠绘剰涓涓笁瑙掑舰鐨勪笁杈归暱搴︿笌鍏朵腑涓涓锛堥潪鐩磋锛夌殑浣欏鸡鍊间箣闂寸殑鍏崇郴銆傚湪鍚戦噺娉曚腑锛屾垜浠彲浠ラ氳繃鍚戦噺鐨勭偣绉拰妯￠暱鏉ユ帹瀵间綑寮﹀畾鐞嗐傚亣璁炬垜浠湁涓涓笁瑙掑舰ABC锛屽叾涓偣A銆丅銆丆鍒嗗埆瀵瑰簲浜庡悜閲廰銆乥銆乧銆傝繖浜涘悜閲忎粠鍚屼竴璧风偣鍑哄彂锛屾寚鍚戜笁瑙掑舰鐨勪笁涓《鐐广
绛旓細鐢ㄥ悜閲忚瘉鏄庝綑寮﹀畾鐞嗗涓嬶細浣欏鸡瀹氱悊鏄彮绀轰笁瑙掑舰杈硅鍏崇郴鐨勯噸瑕佸畾鐞锛岀洿鎺ヨ繍鐢ㄥ畠鍙В鍐充竴绫诲凡鐭ヤ笁瑙掑舰涓よ竟鍙婂す瑙掓眰绗笁杈规垨鑰呮槸宸茬煡涓変釜杈规眰瑙掔殑闂锛岃嫢瀵逛綑寮﹀畾鐞嗗姞浠ュ彉褰㈠苟閫傚綋绉讳簬鍏跺畠鐭ヨ瘑锛屽垯浣跨敤璧锋潵鏇翠负鏂逛究銆佺伒娲伙紟瀵逛簬浠绘剰涓夎褰笁杈逛负a,b,c涓夎涓篈,B,C婊¤冻鎬ц川 a^2=b^2c^2-2*b*c*CosA...
绛旓細鍥炵瓟锛氳В:浣欏鸡瀹氱悊瀹氫箟:涓夎褰浠讳綍涓杈圭殑骞虫柟绛変簬鍏朵粬涓よ竟骞虫柟鐨勫拰鍑忓幓杩欎袱杈逛笌瀹冧滑澶硅鐨勪綑寮涔嬬Н鐨勪袱鍊;鍗冲湪鈻矨BC涓,a,b,c涓篈,B,C鐨勫杈,鏈塧^2=b^2+c^2-2bccosA,b^2=c^2+a^2-2cacosB,c^2=a^2+b^2-2abcosC 濡傚浘: 寰堥珮鍏翠负浣犺В绛斻傚笇鏈涘彲浠ュ府鍔╀綘,鏈涢噰绾炽傝阿璋
绛旓細璁 鍦涓夎褰abc涓,a鍚戦噺=b鍚戦噺-c鍚戦噺,鎵浠鐨勫钩鏂=b鐨勫钩鏂+c鐨勫钩鏂-2bc鐨勫悜閲忋 鍥犱负cos=bc鐨勫悜閲/bc鍚戦噺鐨妯,缁撳悎涓ゅ紡鍗冲彲鐨璇
绛旓細鈻矨BC涓洪攼瑙涓夎褰锛岃繃鐐笰浣滃崟浣鍚戦噺j鍨傜洿浜庡悜閲廇C锛屽垯j涓庡悜閲廇B鐨勫す瑙掍负90掳-A锛宩涓庡悜閲廋B鐨勫す瑙掍负90掳-C 鈭礎C+CB=AB 鍦ㄥ悜閲忕瓑寮忎袱杈瑰悓涔樺悜閲廽锛屽緱锛歫路锛圓C+CB锛=j路AB 鈭粹攤j鈹傗攤AC鈹俢os90掳+鈹俲鈹傗攤CB鈹俢os(90掳-C)=鈹俲鈹傗攤AB鈹俢os(90掳-A)鈭碼sinC=csinA 锛圓B鐨勬ā=c...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊鏄寚鍦ㄤ竴涓换鎰忎笁瑙掑舰ABC涓紝璁続B=c, BC=a, AC=b锛屽す瑙扐瀵瑰簲鐨勮搴︿负伪锛屽垯鏈夛細cos(伪) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)涓嬮潰鎴戜滑鍙互浣跨敤鍚戦噺鐨勫悜閲忕Н鏉璇佹槑浣欏鸡瀹氱悊銆傛垜浠彲浠ュ皢涓夎褰㈢殑涓変釜杈瑰悜閲忚〃绀轰负鍚戦噺OA=a, OB=b鍜孫C=c锛屽叾涓璒涓轰换鎰忕偣銆傜幇鍦紝鎴戜滑鍙互浣跨敤鍚戦噺鐨...
绛旓細y2)锛(X3,y3)銆傛牴鎹偣涔嬮棿鐨勮窛绂诲叕寮忓拰鍚戦噺鐨鍐呯Н鍏紡锛屽彲浠ュ緱鍒浣欏鸡瀹氱悊鐨勫舰寮忋備簲銆佷笁瑙掑嚱鏁版帹瀵娉 鍒╃敤涓夎鍑芥暟鐨勫畾涔夊拰鎬ц川锛屽彲浠ユ帹瀵煎嚭浣欏鸡瀹氱悊銆傚亣璁惧湪涓涓涓夎褰ABC涓紝杈归暱鍒嗗埆涓篴銆乥銆乧锛屸垹BAC鐨勫害鏁颁负胃銆傛牴鎹笁瑙掑嚱鏁扮殑瀹氫箟锛屽彲浠ュ緱鍒颁綑寮﹀畾鐞嗙殑褰㈠紡銆傚拰闈㈢Н鍏紡锛屽彲浠ュ緱鍒颁綑寮﹀畾鐞嗙殑褰㈠紡銆
绛旓細璁炬湁涓夎褰ABC,A鍦ㄥ師鐐逛笂,B锛坸1,y1),C(x2,y2),鍒鍚戦噺BC锛坸2-x1,y2-y1),闀垮害涓猴紙鏍瑰彿锛坸2-x1)^2+(y2-y1)^2)AB涓嶣C鐨勫す瑙掔殑COS涓(x1x2+y1y2)/锛圓B鐨勯暱搴*AC鐨勯暱搴︼級灏嗕笂闈㈢殑BC鐨勯暱搴﹀拰COS鐨勫间唬鍏浣欏鸡瀹氱悊鍗冲彲璇
