用向量方法证明三角形的余弦定理 证明题:利用向量的内积证明三角形的余弦定理
\u5982\u4f55\u7528\u5411\u91cf\u6cd5\u8bc1\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1f\u8bbe \u5728\u4e09\u89d2\u5f62abc\u4e2d,a\u5411\u91cf=b\u5411\u91cf-c\u5411\u91cf,\u6240\u4ee5a\u7684\u5e73\u65b9=b\u7684\u5e73\u65b9+c\u7684\u5e73\u65b9-2bc\u7684\u5411\u91cf\u3002 \u56e0\u4e3acos=bc\u7684\u5411\u91cf/bc\u5411\u91cf\u7684\u6a21,\u7ed3\u5408\u4e24\u5f0f\u5373\u53ef\u7684\u8bc1
\u4e0b\u9762a\u3001b\u3001c\u90fd\u8868\u793a\u5411\u91cf,|a|\u3001|b|\u3001|c|\u8868\u793a\u5411\u91cf\u7684\u6a21
\u56e0\u4e3aa=b-c
\u6240\u4ee5a^2\uff1d(b-c)^2 = b^2 +c^2 -2*bc
\u6240\u4ee5|a|^2\uff1d|b|^2 + |c|^2 -2*|b|*|c|*cosa
\u5176\u5b83\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8.
证明:令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C,其中∠A对应的边长为a,∠B对应的边长为b,∠C对应的边长为c。
那么在三角形ABC中,向量BC=向量AC-向量AB,且|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a
则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB),
那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB,
又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA,
a^2=b^2+c^2-2bccosA。
同理可用向量证明得到,
b^2=a^2+c^2-2bccosB,
c^2=b^2+a^2-2bccosC。
上述即用向量证明了三角形的余弦定理。
扩展资料:
1、向量的运算
对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),c(x3,y3)则向量的运算法则如下。
(1)数量积
对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b之间的夹角为A,那么
a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、(a+b)·c=a·c+b·c。
a·b=|a|·|b|·cosA,
(2)向量的加法
a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)
(3)向量的减法
a+(-b)=a-b
2、正弦定理应用
在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,
那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。
且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
参考资料来源:百度百科-向量
三角形ABC中,向量AB+BC=AC
两边平方,
AB^2+BC^2+2AB·BC=AC^2
注意:向量AB与BC夹角是角B的补角,所以
2AB·BC=2|AB||BC|cos(π-B)=-2|AB||BC|cosB,所以
AC^2=AB^2+BC^2-2|AB||BC|cosB
同理可证其余两式.
BC=AC-AB
BC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2
a^2=b^2-2bccosA+c^2
课本上的证明方法,你学会了吗?
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