求 ∫ cos(x)sin²(x)dx ∫ 下面是0上面是π(pai) 多谢 步骤请写详细一点 不胜感激！ ∫sin2x·cosdx=？ ∫1.0 x^2/（1+x^2...

2R³/3\u222b\uff081\u2014sin³x\uff09dx\u600e\u4e48\u6c42\u554a\uff0c\u8981\u8be6\u7ec6\u8fc7\u7a0b \u4e0b\u754c0\uff0c\u4e0a\u754c\u03c0\uff08pai\uff09/2

2R³/3 * \u222b\uff081-sin³x\uff09dx
=2R³/3 * [ \u222b dx- \u222b sin³x dx]
=2R³/3 * [(\u03c0/2-0)- \u222b sin³x dx]
=R³\u03c0/3 - 2R³/3 * \u222b sin³x dx
=R³\u03c0/3 - 2R³/3 * \u222b sinx(1-cos²x) dx
=R³\u03c0/3 + 2R³/3 * \u222b (1-cos²x) (-sinx)dx
=R³\u03c0/3 + 2R³/3 * \u222b (1-cos²x) d(cosx)
=R³\u03c0/3 + 2R³/3 * [cosx - (cos³x)/3](0,\u03c0/2) <-----\u65b9\u62ec\u53f7\u5185\u662f\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u4ece0\u5230\u03c0/2
=R³\u03c0/3 + 2R³/3 * [(0-1) - (0-1)/3]
=R³\u03c0/3 - 4R³/9
=(R³/3)(\u03c0 - 4/3)

\u5e0c\u671b\u91c7\u7eb3~~~

\u222bsin(2x)cosxdx
=\u222b2sinxcosxcosxdx
=2\u222bsinxcos²xdx
=2\u222bcos²xd(-cosx)
=-2\u222bcos²xd(cosx)
=(-⅔)cos³x+C

\u222b[0\uff1a1][x²/(1+x²)]dx
=\u222b[0\uff1a1][(x²+1-1)/(1+x²)]dx
=\u222b[0\uff1a1][1- 1/(1+x²)]dx
=\u222b[0\uff1a1]dx -\u222b[0\uff1a1][1/(1+x²)]dx
=x|[0\uff1a1]-arctanx|[0\uff1a1]
=1-0-(arctan1-arctan0)
=1-(\u03c0/4 -0)
=1- \u03c0/4

用第一类换元积分法先求出cos(x)sin²(x)的一个原函数
令sinx=t,则 dt=cosxdx
∫ cos(x)sin²(x)dx =∫t²dt=1/3t^3+c=1/3(sinx)^3+c
再算定积分得结果为0
或直接用定积分的换元积分法
令sinx=t，dt=cosxdx
当x=0,t=0, 当x=π,t=0
∫ cos(x)sin²(x)dx ∫ 下面是0上面是π(pai) 经换元后积分上下限全是0
结果就是0

求 ∫ cos(x)sin²(x)dx ∫ 下面是0上面是π(pai)
J = ∫ cos(x)sin²(x)dx = ∫ sin²(x)d(sin x)
= sin^3 x / 3 +C [上限π，下限0] ＝ 0

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