同角三角函数互换公式有哪些？ 同角三角函数关系式有哪些？
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u8fb9\u89d2\u4e92\u6362\u516c\u5f0f1\u3001\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff1a
\uff081\uff09sin^2(\u03b1)+cos^2(\u03b1)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2
\uff082\uff09tan^2(\u03b1)+1=sec^2(\u03b1) sin^2a=(1-cos2a)/2
\uff083\uff09cot^2(\u03b1)+1=csc^2(\u03b1)
2\u3001\u79ef\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
\uff081\uff09sin\u03b1=tan\u03b1*cos\u03b1
\uff082\uff09cos\u03b1=cot\u03b1*sin\u03b1
\uff083\uff09tan\u03b1=sin\u03b1*sec\u03b1
\uff084\uff09cot\u03b1=cos\u03b1*csc\u03b1
\uff085\uff09sec\u03b1=tan\u03b1*csc\u03b1
\uff086\uff09csc\u03b1=sec\u03b1*cot\u03b1
3\u3001\u5012\u6570\u5173\u7cfb\uff1a
\uff081\uff09tan\u03b1\u00b7cot\u03b1=1
\uff082\uff09sin\u03b1\u00b7csc\u03b1=1
\uff083\uff09cos\u03b1\u00b7sec\u03b1=1
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\u53e3\u8bc0\u201c\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u201d\u610f\u4e49\uff1a
k\u00d7\u03c0/2\u00b1a(k\u2208z)\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\uff0e
\u5f53k\u4e3a\u5076\u6570\u65f6\uff0c\u7b49\u4e8e\u03b1\u7684\u540c\u540d\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u524d\u9762\u52a0\u4e0a\u4e00\u4e2a\u628a\u03b1\u770b\u4f5c\u9510\u89d2\u65f6\u539f\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u7b26\u53f7\uff1b
\u5f53k\u4e3a\u5947\u6570\u65f6\uff0c\u7b49\u4e8e\u03b1\u7684\u5f02\u540d\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u524d\u9762\u52a0\u4e0a\u4e00\u4e2a\u628a\u03b1\u770b\u4f5c\u9510\u89d2\u65f6\u539f\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u7b26\u53f7\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570
\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u53c8\u79f0\u4e09\u89d2\u7ea7\u6570
f(x)=a0/2+\u2211(n=0..\u221e) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/\u03c0\u222b(\u03c0..-\u03c0) (f(x))dx
an=1/\u03c0\u222b(\u03c0..-\u03c0) (f(x)cosnx)dx
bn=1/\u03c0\u222b(\u03c0..-\u03c0) (f(x)sinnx)dx
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f
同角三角函数的基本关系
倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示， 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
其他
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N倍角公式
根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部 实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n， 1. cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。 2. sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。 (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。 (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 公式二sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα 公式三 sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα 公式四sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα 公式五sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα 公式六tanA= sinA/cosA tan（π/2+α）=－cotα tan（π/2－α）=cotα tan（π－α）=－tanα tan（π+α）=tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式） (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可 (4)对于任意非直角三角形，总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证： A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2 幂级数展开式 sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) 无限公式 sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)…… cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)…… tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……] secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……] (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8…… (1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) 和自变量数列求和有关的公式 sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx) sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形
绛旓細鍏跺畠鍏紡 (1) (sin伪)²+(cos伪)²=1 (2)1+(tan伪)²=(sec伪)² (3)1+(cot伪)²=(csc伪)² 璇佹槑涓嬮潰涓ゅ紡,鍙渶灏嗕竴寮,宸﹀彸鍚岄櫎(sin伪)²锛岀浜屼釜闄(cos伪)²鍗冲彲 (4)瀵逛簬浠绘剰闈炵洿瑙涓夎褰,鎬绘湁 tanA+tanB+tanC=tanA...
绛旓細涓夎鍑芥暟鐨勫悓瑙掑叕寮忓寘鎷細姝ｅ鸡瀹氱悊銆佷綑寮﹀畾鐞嗐佹鍒囧畾鐞锛屽垎鍒负锛歛²=b² c²-2bccosA锛沘²=b² c²-2bccosB锛泃anA=tanB/tanC銆
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绛旓細浜屻佸嶈鍗婅鍏紡 sin ( 2伪 ) = 2sin伪 路 cos伪 = 2 / ( tan伪 + cos伪 ) sin ( 3伪 ) = 3sin伪 - 4sin & sup3 ; ( 伪 ) = 4sin伪 路 sin ( 60 + 伪 ) sin ( 60 - 伪 ) sin ( 伪 / 2 ) = 卤鈭( ( 1 - cos伪 ) / 2) 涓夈鍚岃涓夎鍑芥暟鐨勫熀鏈叧绯诲紡 鍊掓暟鍏崇郴...
绛旓細1銆鍚岃涓夎鍑芥暟鍩烘湰鍏崇郴锛氬掓暟鍏崇郴锛歵ana路coto=1sino路csca=1coso路seca=1 鍟嗙殑鍏崇郴锛歴ina/cosa=tano=seca/cscacosa/sino=coto=csca/seca 2銆佸嶈鍏紡锛歵an2=2tanA/(1-tan2A)sin2A=2sinA路cosA cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A 3銆佷笁鍊嶈鍏紡锛歴in3A=3sinA-4(sinA)8cos3A=...
绛旓細1锛峵an2(伪/2) 鍗婅鐨勬寮︺佷綑寮﹀拰姝ｅ垏鍏紡涓夎鍑芥暟鐨勯檷骞傚叕寮 浜屽嶈鐨勬寮︺佷綑寮﹀拰姝ｅ垏鍏紡涓夊嶈鐨勬寮︺佷綑寮﹀拰姝ｅ垏鍏紡sin2伪锛2sin伪cos伪cos2伪锛漜os2伪锛峴in2伪锛2cos2伪锛1锛1锛2sin2伪 2tan伪 tan2伪锛濃斺斺1锛峵an2伪 sin3伪锛3sin伪锛4sin3伪cos3伪锛4cos3伪锛3cos伪...
