设s为三角形ABC平面外的一点，SA=SB=SC,角ASB=2a,角BSC=2b，角ASC= 2c,若(sina) 2+ (sinb)2=(sinc)2
S\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u6240\u5728\u5e73\u9762\u5916\u7684\u4e00\u70b9\uff0cSA=SB=SC,\u4e14\u89d2ASC=90\u00b0\uff0c\u89d2ASB=\u89d2BSC=60\u00b0\u3002\u6c42\u8bc1\uff1a\u5e73\u9762ASC\u5782\u76f4\u5e73\u9762ABC.\u8bc1\u660e\uff1a\uff08\u753b\u56fe\uff09\u8fc7S\u70b9B\u70b9\u5206\u522bAC\u4e0a\u7684\u5782\u7ebf\u5782\u8db3\u4e3aO\u548cO1\u70b9
\u8bbe SA\uff1dSB\uff1dSC=n
\u7531\u9898\u53ef\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62ABC \u548c\u4e09\u89d2\u5f62SAC\u4e3a\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62 \u4e14\u516c\u7528\u4e00\u4e2a\u5e95\u8fb9 \u6545OO1\u70b9\u91cd\u5408\u4e3a\u4e00\u70b9O
\u8fde\u63a5SB
\u56e0\u4e3aSA\uff1dSB\uff1dSC=n \u4e14\u89d2ASC\uff1d90\u5ea6 \u89d2ASB\uff1d\u89d2BSC\uff1d60\u5ea6 \u6240\u4ee5\u53ef\u5f97SB=n SO=\u6839\u53f72/2n BO=\u6839\u53f72/2n SB\u5e73\u65b9=SO\u5e73\u65b9+BO\u5e73\u65b9
\u7531\u4e09\u89d2\u5f62\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53ef\u5f97 \u6545\u89d2SOB\u4e3a\u76f4\u89d2
\u56e0\u4e3a\u8fc7\u5e73\u9762\u5916\u5782\u7ebf\u7684\u4efb\u4f55\u5e73\u9762\u5b9a\u4e0e\u8be5\u5e73\u9762\u5782\u76f4
\u6240\u4ee5\u5e73\u9762ASC\u5782\u76f4\u5e73\u9762ABC
\u56fe\u5462
第一个问题：过S分别作AB、BC、AC的垂线，垂足依次是E、F、G。
∵SA＝SB＝SC，∴BE＝AB/2、BF＝BC/2、AG＝AC/2。且∠BSE＝a、∠BSF＝b、∠ASG＝c。
显然有：sin∠BSE＝BE/SB、sin∠BSF＝BF/SB、sin∠ASG＝AG/SA，
∴sina＝（AB/2）/SA、sinb＝（BC/2）/SA、sinc＝（AC/2）/SA。
而（sina）^2＋（sinb）^2＝（sinc）^2，
∴［（AB/2）/SA］^2＋［（BC/2）/SA］^2＝［（AC/2）/SA］^2，
∴AB^2＋BC^2＝AC^2， ∴由勾股定理的逆定理，得：AB⊥BC。
∵E、G分别是AB、AC的中点，∴由三角形中位线定理，有：EG∥BC，而AB⊥BC，∴AB⊥EG。
由AB⊥EG、AB⊥SE、AB∩SE＝E，得：AB⊥平面SEG，∴SG⊥AB。
由SG⊥AB、SG⊥AC、AC∩SG＝G，得：SG⊥平面ABC，又SG在平面SAC上，
∴平面SAC⊥平面ABC。
第二个问题：
以AB、AC为邻边作平行四边形ABHC。显然SC与CH的交角就是异面直线AB与SC所成的角。
设AB＝m，则显然有：CH＝m。
∵a＝b、SA＝SB＝SC，∴△SAB≌△SCB，∴AB＝BC＝m，又AB⊥BC，∴AC＝√2m。
∵平面SAC⊥平面ABC，又SG⊥平面ABC，∴SA与平面ABC所成的角＝∠SAC＝45°。
由SA＝SC、∠SAC＝45°，得：SA⊥SC，∴SC＝AC/√2＝m。
∵AB＝BC、AG＝CG，∴AC⊥BG，又AC⊥SG、SG∩BG＝G，∴AC⊥平面SBG，∴AC⊥SB。
∵ABHC是平行四边形，∴BH＝AC＝√2m、AC∥BH，而AC⊥SB，∴BH⊥SB，
∴SH＝√（SB^2＋BH^2）＝√（m^2＋2m^2）＝√3m。
在△CSH中，SC＝CH＝m，SH＝√3m。令SH的中点为M，则有：CM⊥SH、∠SCM＝∠SCH/2。
很明显，sin∠SCM＝SM/SC＝（SH/2）/SC＝（√3m/2）/m＝√3/2，∴∠SCM＝60°，
∴∠SCH＝120°。
∴异面直线AB与SC所成的角＝180°－120°＝60°。
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