匹克定律证明
皮克定律的证明依赖于一个多边形P和与其共享边的三角形T的组合。假设P符合皮克公式，要证明所有简单多边形的皮克公式都成立，关键在于验证P加上T的组合（记为PT）也遵循该公式，以及三角形本身的皮克公式。P和T共同边上的格点数为c。计算P和T的面积，P面积为iP + bP/2 - 1，T面积为iT + bT/2 - 1，而PT的面积为(iT + iP + c - 2) + (bT - c + 2 + bP - c + 2)/2 - 1，简化后也等于iPT + bPT/2 - 1，满足皮克公式。
接下来，我们逐项验证三角形的情况。包括平行于轴线的矩形、由矩形边和对角线构成的直角三角形，以及所有内接于矩形的三角形。矩形R长边短边各有m,n个格点，其面积和i,b值可以验证皮克公式成立。直角三角形中，由于邻边和对角线组成的两个三角形相等，i和b的计算也很简单，同样满足皮克公式。
总结，通过数学归纳法，通过P与T的组合，以及三角形的特殊性质，我们可以证明所有简单多边形的皮克公式，无论是矩形、直角三角形还是其他形状，都遵循皮克定律中的i、b值计算规则。
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