边长为a的正四面体外接球和内切球的半径求法。 棱长为a的正四面体的外接球半径和内切球半径各是多少？
\u68f1\u957f\u4e3aa\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5916\u63a5\u7403\u7684\u534a\u5f84\uff1f\u5185\u5207\u7403\u7684\u534a\u5f84\uff1f\uff08\u6ce8\uff1a\u8981\u8be6\u7ec6\u6b65\u9aa4\uff09\u6b63\u56db\u9762\u4f53A-BCD\uff0c\u505a\u9ad8\u7ebfAO\u4ea4\u5e73\u9762BCD\u4e8eO\uff0cO\u662fBCD\u7684\u4e2d\u5fc3\uff0cBOA\u662fRT\u25b2\uff0cBO = (\u221a3/2)*(2/3)*a = \u221a3/3a;\u2235 AB =a AO²= a²-1/3a²=(2/3)a² \u2234 AO=\u221a6/3a\u8bbe\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u4e3a R = (2/3)*AO = (2/3)*(\u221a6/3)a=[(2\u221a6)/9]a
\u8fde\u63a5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5404\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e2d\u5fc3\uff0c\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u65b0\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u3002\u5bb9\u6613\u8bc1\u660e\uff0c\u65b0\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u8fb9\u957f\u4e3aa/3.
\u6211\u60f3\uff0c\u6309\u8fd9\u4e2a\u601d\u8def\u505a\u4e0b\u53bb\uff0c\u5927\u6982\u662f\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u7684\u505a\u6cd5\u3002
\u539f\u6765\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5185\u5207\u5706\u662f\u65b0\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u5706\u3002
\u6240\u4ee5\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84R\u662f\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84r\u76843\u500d\u3002
R=3r,
\u4f5c\u56fe\u5373\u53ef\u77e5\u9053
(3r)^2=r^2+[(2/3)\u00d7(\u6839\u53f73)a/2]^2
=>r=a/(2\u6839\u53f76)
R=3a/(2\u6839\u53f76)
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。
2、内切球半径。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
绛旓細璁杈归暱涓篴,鍒欓珮涓烘牴6/3a,浣撶Н涓烘牴2a^3/12 , 澶栨帴鐞鍗婂緞涓烘牴6/4a 澶栨帴鐞冨崐寰勶細鈭6a/4 鍐呭垏鐞冨崐寰勶細鈭6a/12 鐞冧綋浣撶Нv=4蟺R³/3
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