f(x)是域F上的首一不可约多项式，域的特征Char F = 0,设E是包含F的代数封闭域，由于f(x)在域F上不可约，
\u8bbeV\u662f\u6570\u57dfP\u4e0an\u7ef4\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\uff0ct\u662fV\u7684\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\uff0ct\u7684\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u4e3af\uff08a\uff09\u3002\u8bc1\u660e\uff1af\uff08a\uff09\u5728p\u4e0a\u4e0d\u53ef\u7ea6\u7684\u57fa\u672c\u4e0a\u5fd8\u5149\u4e86\uff0c\u53ea\u80fd\u7ed9\u4f60\u5efa\u8bae\u4e2a\u601d\u8003\u65b9\u5411\u3002\u591a\u9879\u5f0f\u77e9\u9635\u548cJordan\u6807\u51c6\u578b
\u65e2\u7136\u662f\u6709\u7406\u6570\u57df\u53ef\u7ea6\u95ee\u9898\uff0c\u4e00\u822c\u53ef\u4ee5\u5c1d\u8bd5y=x+1\uff0cy=x-1\uff0cy=x+2\uff0cy=x-2\uff0cy=2x+1\uff0cy=2x-1\u7b49
\u56e0\u4e3a\u6839\u636e\u827e\u68ee\u65af\u5766\u5224\u522b\u6cd5\uff0c\u6700\u9ad8\u6b21\u7cfb\u6570\u8d8a\u5c0f\uff0c\u5176\u5b83\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u8d8a\u5927\uff0c\u66f4\u5bb9\u6613\u627e\u5230\u4e0d\u80fd\u6574\u9664\u6700\u9ad8\u6b21\u7cfb\u6570\u800c\u80fd\u6574\u9664\u5176\u5b83\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u7d20\u6570\u3002\u518d\u8005\uff0c\u591a\u9879\u5f0f\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u8fc7\u5927\u4e5f\u4e0d\u6613\u4e8e\u5bfb\u627e\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u7684\u7d20\u6570
\u5bf9\u4e8e\u4f60\u6240\u63d0\u53ca\u7684x^6+x^3+1\uff0c\u4ee4y=x-1\uff0c\u5219x=y+1
x^6+x^3+1
=y^6+6y^5+15y^4+20y^3+15y^2+6y+1 + y^3+3y^2+3y+1 + 1
=y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3
\u5bf9\u4e8e\u7d20\u65703\uff0c3\u4e0d\u80fd\u6574\u96641\uff1b3\u80fd\u6574\u96646\u300115\u300121\u300118\u30019\u30013\uff1b3^2\u4e0d\u80fd\u6574\u96643
\u6240\u4ee5\u591a\u9879\u5f0fy^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3\u5728\u6709\u7406\u6570\u57df\u5185\u4e0d\u53ef\u7ea6
\u5373\uff0c\u591a\u9879\u5f0fx^6+x^3+1\u5728\u6709\u7406\u6570\u57df\u5185\u4e0d\u53ef\u7ea6
大致说明如下;
f(x)有重根 <=> f与f'不互素（即有次数大于0的公因式）
f'为f的形式导数（这样可以避免引入极限的概念，省去很多讨论）。
当char F =0时，f不可约 => f'≠0 （f的次数至少为2，导函数不会恒为0），
由于f不可约，deg f' <deg f，故f, f'互素（若不然，设(f, f')=g，f'≠0，g|f'，则0<deg g≤deg f' < deg f，故deg g<deg f，因为g|f，g是f的一个真因子，这与f不可约矛盾），于是f无重根。
当char F ≠0时，f不可约 ≠> f'≠0 ，
这样当f'=0时，f与f'不互素（f|f'，公因子为f），f有重根。
“f不可约 ≠> f'≠0 ”解释如下，
设p = char F>0，f(x)=∑c_i * x^i (i=0 .. n)，则f'(x)=∑i*c_i * x^i (i=1 .. n)，
当p不能整除i时，令c_i=0；p|i时，i=0；故总有i*c_i=0。即有f≠0，但f'=0。
具体例子如下：
设F=F_p=Z/(pZ)，p=char F，u是F上的超越元，K=F(u)为F的单扩域（次数无穷大），则f(x)=x^p-u∈K[x]，取f(x)的一个根α=u^(1/p)，（α当然不在F、K中，在K的代数封闭扩域中），则f(x)=x^p-u=x^p-α^p=(x-α)^p有p重根α，（在F_p的扩域上有(a+b)^p=a^p+b^p），但是f(x)在K[x]上不可约。
（若f(x)在K[x]上可约，即f(x)=g(x)*h(x)，g(x)、h(x)∈K[x]，设g(x)=(x-α)^l，h(x)=(x-α)^s，1≤l,s≤p-1，l+s=p。但是g(x)的常数项为(-α)^l=(-1)^l*α^l=(-1)^l*u^(l/p)，1≤l≤p-1，l/p不是整数，由K的定义，u^(l/p)不在K中，于是g(x)不在K[x]中，这与g(x)∈K[x]矛盾）
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