x^2+x傅里叶级数 x∧2, x∧3, x∧4的傅里叶级数
\u7528\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u5f00f=x^2\u4f60\u597d\uff01\u7b54\u6848\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff1a
\u6ca1\u6709\u8bf4\u660e\u533a\u95f4\u5417\uff1f\u5047\u8bbe\u662f- l \u2264 x \u2264 l
\u5f88\u9ad8\u5174\u80fd\u56de\u7b54\u60a8\u7684\u63d0\u95ee\uff0c\u60a8\u4e0d\u7528\u6dfb\u52a0\u4efb\u4f55\u8d22\u5bcc\uff0c\u53ea\u8981\u53ca\u65f6\u91c7\u7eb3\u5c31\u662f\u5bf9\u6211\u4eec\u6700\u597d\u7684\u56de\u62a5
\u3002\u82e5\u63d0\u95ee\u4eba\u8fd8\u6709\u4efb\u4f55\u4e0d\u61c2\u7684\u5730\u65b9\u53ef\u968f\u65f6\u8ffd\u95ee\uff0c\u6211\u4f1a\u5c3d\u91cf\u89e3\u7b54\uff0c\u795d\u60a8\u5b66\u4e1a\u8fdb\u6b65\uff0c\u8c22\u8c22\u3002
\u5982\u679c\u95ee\u9898\u89e3\u51b3\u540e\uff0c\u8bf7\u70b9\u51fb\u4e0b\u9762\u7684\u201c\u9009\u4e3a\u6ee1\u610f\u7b54\u6848\u201d
\u5b66\u4e60\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u6700\u91cd\u8981\u662f\u6301\u4e4b\u4ee5\u6052\uff0c\u5176\u5b9e\u65e0\u8bba\u54ea\u79cd\u79d1\u76ee\u90fd\u662f\u7684\uff0c\u9664\u4e86\u591a\u4e66\u91cc\u7684\u4f8b\u9898\u5916\uff0c\u5e73\u65f6\u8fd8\u8981\u591a\u4eb2\u81ea\u52a8\u624b\u505a\u7ec3\u4e60\uff0c\u6bcf\u79cd\u7c7b\u578b\u548c\u6bcf\u79cd\u96be\u5ea6\u7684\u9898\u76ee\u90fd\u6311\u6218\u4e00\u756a\uff0c\u4e0d\u4f1a\u505a\u7684\u4e5f\u4e0d\u7528\u6c14\u9981\uff0c\u591a\u4e9b\u5411\u522b\u4eba\u8bf7\u6559\uff0c\u4ece\u522b\u4eba\u90a3\u91cc\u5b66\u5230\u7684\u77e5\u8bc6\u5c31\u662f\u81ea\u5df1\u7684\u4e86\uff0c\u7136\u540e\u518d\u52a0\u4ee5\u81ea\u5df1\u94bb\u7814\u7684\u8bdd\u4e00\u5b9a\u4f1a\u6709\u4e0d\u9519\u7684\u6548\u679c\u3002\u6240\u4ee5\u7d2f\u79ef\u7ecf\u9a8c\u662f\u5f88\u91cd\u8981\u7684\uff0c\u6700\u597d\u7684\u65b9\u6cd5\u5c31\u662f\u5e38\u6765\u5e2e\u522b\u4eba\u89e3\u7b54\u9898\u76ee\uff0c\u589e\u52a0\u5386\u7ec3\u548c\u505a\u9898\u7ecf\u9a8c\u4e86\uff01
\u6ca1\u8bf4x\u7684\u8303\u56f4\u5417\uff1f
\u5047\u8bbe\u662f- \u03c0 \u2264 x \u2264 \u03c0
x^3\u548cx^4\u7684\u60c5\u51b5\u4e5f\u7c7b\u4f3c\u7684
\u5f88\u9ad8\u5174\u80fd\u56de\u7b54\u60a8\u7684\u63d0\u95ee\uff0c\u60a8\u4e0d\u7528\u6dfb\u52a0\u4efb\u4f55\u8d22\u5bcc\uff0c\u53ea\u8981\u53ca\u65f6\u91c7\u7eb3\u5c31\u662f\u5bf9\u6211\u4eec\u6700\u597d\u7684\u56de\u62a5\u3002\u82e5\u63d0\u95ee\u4eba\u8fd8\u6709\u4efb\u4f55\u4e0d\u61c2\u7684\u5730\u65b9\u53ef\u968f\u65f6\u8ffd\u95ee\uff0c\u6211\u4f1a\u5c3d\u91cf\u89e3\u7b54\uff0c\u795d\u60a8\u5b66\u4e1a\u8fdb\u6b65\uff0c\u8c22\u8c22\u3002
设f(x)是x²+x经过T=2π周期延拓后的周期函数
这里就要十分注意到傅里叶级数的收敛条件了
因为f(x)是不连续的...这一点请见下图
设所求出的傅里叶级数的和函数是S(x)=a0/2+∑(ancosnπx+bnsinnπx)
那么
S(x0)=f(x0) ,当x0是f(x)的连续点时
S(x0)=[f(x0-)+f(x0+)]/2 ,当x0是f(x)的第一类间断点时
由图像,x=π显然属于第二种情况(亲就是错在这里!)
那么S(π) = [f(π-)+f(π+)]/2 = [(π²+π)+(π²-π)]/2 = π²
而S(π) = π²/3+4*∑(1/n²)
进而求出 ∑(1/n²) = π²/6
f(x)＝3x²＋1(－π≤x＜π)为偶函数，应进行傅里叶余弦展开
设f(x)＝a0＋∑ancosnx，其中
a0＝1/π∫f(ξ)dξ （积分限：0到π）
＝1/π∫(3ξ²＋1)dξ＝1/π(π³＋π－0－0)＝π²＋1
an＝2/π∫f(ξ)cosnξdξ （积分限：0到π）
＝2/π∫(3ξ²＋1)cosnξdξ＝6/π∫ξ²cosnξdξ＋2/π∫cosnξdξ＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)＋2/(nπ)(sinnπ－sin0)＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ＝ζ，则
an＝6/(n³π)∫ζ²cosζdζ （积分限：0到nπ）
＝6/(n³π)∫ζ²dsinζ＝6/(n³π)(ζ²sinζ－∫sinζdζ²)＝6/(n³π)[(nπ)²sinnπ－0－2∫ζsinζdζ]＝－12/(n³π)∫ζsinζdζ＝12/(n³π)∫ζdcosζ＝12/(n³π)(ζcosζ－∫cosζdζ)＝12/(n³π)(ζcosζ－sinζ)＝12/(n³π)(nπcosnπ－sinnπ－0＋sin0)＝12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时，cosnπ＝1；当n为奇数时，cosnπ＝－1
∴an＝12(－1)^n/n²
∴f(x)＝π²＋1＋∑12(－1)^n/n²·cosnx(－π≤x＜π)
gcfngdnggdjkgudgggkjgdjk
绛旓細a0=1/蟺鈭玔-蟺,蟺]x^2dx =1/蟺*2/3蟺^3 =2/3蟺^2
绛旓細锛1/蟺锛夆埆-蟺鈫捪 x²dx=锛2蟺³锛/3蟺=2蟺²/3 锛1/蟺锛夆埆-蟺鈫捪 x²cosnxdx=[4蟺锛-1锛ⁿ]/蟺n²=4锛-1锛ⁿ/n²x²=蟺²/3+4鈭1鈫掆垶锛-1锛塶/n²cosnx ...
绛旓細绠鍗曡绠椾竴涓嬪嵆鍙紝绛旀濡傚浘鎵绀
绛旓細璁炬墍姹傚嚭鐨鍌呴噷鍙剁骇鏁鐨勫拰鍑芥暟鏄疭(x)=a0/2+鈭(ancosn蟺x+bnsinn蟺x)閭ｄ箞 S(x0)=f(x0) ,褰搙0鏄痜(x)鐨勮繛缁偣鏃 S(x0)=[f(x0-)+f(x0+)]/2 ,褰搙0鏄痜(x)鐨勭涓绫婚棿鏂偣鏃 鐢卞浘鍍,x=蟺鏄剧劧灞炰簬绗簩绉嶆儏鍐(浜插氨鏄敊鍦ㄨ繖閲!)閭ｄ箞S(蟺) = [f(蟺-)+f(蟺+)]/2 =...
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绛旓細鏀舵暃浜巉(1)=2
绛旓細s(x)=x^2 x鈭圼2k蟺,2(k+1)蟺)s(x)=2蟺^2 x=2(k+1)蟺 s(4蟺)=(4蟺)^2=16蟺^2
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绛旓細鍌呴噷鍙剁骇鏁鐨勬敹鏁涙э細婊¤冻鐙勫埄璧噷鏉′欢鐨勫懆鏈熷嚱鏁拌〃绀烘垚鐨勫倕閲屽彾绾ф暟閮芥敹鏁涖傜媱鍒╄但閲屾潯浠跺涓嬶細鍦ㄤ换浣曞懆鏈熷唴锛x(t)椤荤粷瀵瑰彲绉紱鍦ㄤ换涓鏈夐檺鍖洪棿涓紝x(t)鍙兘鍙栨湁闄愪釜鏈澶у兼垨鏈灏忓硷紱鍦ㄤ换浣曟湁闄愬尯闂翠笂锛寈(t)鍙兘鏈夋湁闄愪釜绗竴绫婚棿鏂偣銆2銆佹浜ゆ 鎵璋撶殑涓や釜涓嶅悓鍚戦噺姝ｄ氦鏄寚瀹冧滑鐨勫唴绉负0锛岃繖...
