概率论:如何求二维服从均匀分布 相互独立的随机变量的期望? 大学概率论:已知随机变量X与Y相互独立，且都服从[0,a]区...
\u6982\u7387\u8bba\u4e2d\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u6570\u5b66\u671f\u671b\u548c\u65b9\u5dee\u8be5\u600e\u4e48\u6c42\u554a\uff1f\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u671f\u671b\uff1a\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u671f\u671b\u662f\u53d6\u503c\u533a\u95f4[a,b]\u7684\u4e2d\u70b9(a+b)/2\u3002
\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u65b9\u5dee\uff1avar(x)=E[X²]-(E[X])²
var(x)=E[X²]-(E[X])²=1/3(a²+ab+ b²)-1/4(a+b)²=1/12(a²-2ab+ b²)=1/12(a-b)²
\u82e5X\u670d\u4ece[2\uff0c4]\u4e0a\u7684\u5747\u5300\u5206\u5e03\uff0c\u5219\u6570\u5b66\u671f\u671bEX=\uff082+4\uff09/2=3\uff1b\u65b9\u5deeDX=\uff084-2\uff09²/12=1/3\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
1\u3001\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03
\u82e5a = 0\u5e76\u4e14b = 1\uff0c\u6240\u5f97\u5206\u5e03U\uff080,1\uff09\u79f0\u4e3a\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03\u3002
\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u4e00\u4e2a\u6709\u8da3\u7684\u5c5e\u6027\u662f\uff0c\u5982\u679cu1\u5177\u6709\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03\uff0c\u90a3\u4e481-u1\u4e5f\u662f\u5982\u6b64\u3002
2\u3001\u76f8\u5173\u5206\u5e03
\uff081\uff09\u5982\u679cX\u670d\u4ece\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03\uff0c\u5219Y = Xn\u5177\u6709\u53c2\u6570\uff081 / n\uff0c1\uff09\u7684\u03b2\u5206\u5e03\u3002
\uff082\uff09\u5982\u679cX\u670d\u4ece\u6807\u51c6\u5747\u5300\u5206\u5e03\uff0c\u5219Y = X\u4e5f\u662f\u5177\u6709\u53c2\u6570\uff081,1\uff09\u7684\u03b2\u5206\u5e03\u7684\u7279\u6b8a\u60c5\u51b5\u3002
\uff083\uff09\u4e24\u4e2a\u72ec\u7acb\u7684\uff0c\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684\u603b\u548c\u4ea7\u751f\u5bf9\u79f0\u7684\u4e09\u89d2\u5206\u5e03\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5747\u5300\u5206\u5e03
A\u9009\u9879\uff1a\u65e2\u7136xy \u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u4e14\u5747\u5300\u5206\u5e03,\u90a3\u4e48\uff08x,y\uff09\u4e5f\u670d\u4ece\u533a\u57df[0,1]\u7684\u5747\u5300\u5206\u5e03
\u5c31\u597d\u6bd4\u4f60\u7528\u94c5\u7b14\u5728[0,1]\u8fd9\u6761\u76f4\u7ebf\u4e0a\u968f\u610f\u5212\u70b9\u548c\u4f60\u5728\u8fb9\u957f\u4e3a1\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\u5185\u968f\u610f\u5212\u70b9,\u4ed6\u4eec\u90fd\u662f\u5747\u5300\u5206\u5e03\u7684
B\u9009\u9879 \u660e\u663e\u4e0d\u5bf9,\u5f53x+y\u4e3a0\u65f6,x y \u90fd\u4e3a0 \u5f53x+y\u4e3a1\u65f6,x,y\u53ef\u4e3a0.5,0.5 \uff1b0.3,0.7\u7b49\u7b49 \u660e\u663e\u4e0d\u5747\u5300
C\u9009\u9879 \u5f53x\u5728[0,0.5]\u65f6,x^2\u5728[0,0.25],\u53ef\u89c1\u4e0d\u670d\u4ece[0,1]\u4e0a\u7684\u5747\u5300\u5206\u5e03
D\u9009\u9879 \u5f53x-y\u4e3a0\u65f6,x=y \u5f53x-y=1\u65f6 x=1,y=0 \u548cB\u9009\u9879\u5f02\u66f2\u540c\u5de5\u7684\u9519\u8bef
\u8865\u5145\u89e3\u91ca\u4e00\u4e0b\u697c\u4e3b\u5bf9c\u7684\u7591\u95ee \u5f53x[0,5,1]\u65f6,x^2\u5728[0.25,1]\u4e0e\u524d\u9762\u5bf9\u6bd4,
x^2\u503c\u7684\u5206\u5e03\u662f\u4ece\u5bc6\u96c6\u53d8\u5230\u7a00\u758f\u6240\u4ee5\u5b83\u662f\u4e0d\u5747\u5300\u7684
由独立性，从联合分布中求出边际分布（或概率密度），然后利用一维随机变量期望计算公式即可。
也可以直接利用公式求，见图
至于第二问许多教材里都有类似的例题，如茆诗松教授等编写的概率论与数理统计教程，P166
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绛旓細f(x,y) = A(x浠0鍒1绉垎,杩欐槸澶栫Н鍒) {(y浠0鍒皒绉垎,杩欐槸鍐呯Н鍒) dy} dx = 1 = A(x浠0鍒1绉垎,杩欐槸澶栫Н鍒) xdx = (A/2)(x^2)|浠ｅ叆x=1 = A/2 = 1 --> A=2.鍗, f(x,y)=2, 0<y<x<1; = 0, 鍏跺畠.E(X) = 2(x浠0鍒1绉垎,杩欐槸澶栫Н鍒) {(y浠0鍒皒...
绛旓細=(1-1/2) / (1-1/4)=2/3
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