高数 定积分 如何 证明下面的式子 高数定积分证明题，需要详细过程，急！
\u9ad8\u6570\u95ee\u9898,\u600e\u4e48\u5229\u7528\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u51e0\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u8bc1\u660e\u7b49\u5f0f\u5462?\u5177\u4f53\u6b65\u9aa4\u662f\u600e\u6837\u7684?\u5b9a\u79ef\u5206\u222b(a,b)f(x)dx\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u5c31\u662ff(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u6240\u56f4\u533a\u57df\u9762\u79ef\u7684\u4ee3\u6570\u548c.
\u6ce8\u610f\u662f\u4ee3\u6570\u548c,\u6709\u6b63\u8d1f\u53f7.
\u6bd4\u5982\u222b(0-->\u03c0)sinxdx=sinx\u4ece0\u5230\u03c0\u548cx\u8f74\u56f4\u57ce\u7684\u9762\u79ef\u5c31\u662f2 \u222b(0-->2\u03c0)sinxdx=0(\u4e24\u90e8\u5206\u9762\u79ef\u62b5\u6d88\u4e86)
\u222b(0-->1)\u221a(1-x^2) dx=\u5706\u5fc3\u5728\u70b9(0,0)\u534a\u5f84\u662f1\u7684\u534a\u5706\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u03c0/4(\u4ee4y=\u221a(1-x^2)==\u300bx^2+y^2=1.\u4e14y>=0)
\u5076\u51fd\u6570\u8868\u793af(x)=f(-x)
\u5de6=\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u9650-a)f(x)dx
=\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u96500\uff0c\u4e0b\u9650-a)f(x)dx+\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx
\u7b2c\u4e00\u4e2a\u79ef\u5206\u4e2d\u4ee4x=-x
\u4e0a\u4e0b\u9650\u53d8\u4e3a\u4e0a\u96500\uff0c\u4e0b\u9650a\uff0cd(-x)=-dx
=\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u96500\uff0c\u4e0b\u9650a)f(-x)(-dx)+\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx
=-\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u96500\uff0c\u4e0b\u9650a)f(x)dx+\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx
\u4e0a\u4e0b\u9650\u4ea4\u6362\u4f1a\u6539\u53d8\u7b26\u53f7
=\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx+\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx
=2\u5b9a\u79ef\u5206(\u4e0a\u9650a\uff0c\u4e0b\u96500)f(x)dx=\u53f3
先要知道广义积分中值定理：
设f(x)与g(x)在[a,b]上都连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点 ξ ∈[a，b]，使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ，积分限是a到b
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证明：设 f(x)＝1/(1＋x)， g(x)＝x^n ，易知，设f(x)与g(x)在[0,1]上都连续，且g(x)在[0,1]上不变号。所以，由广义积分中值定理，可知，存在一点 ξ ∈[0,1]，使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ，积分限是0到1
即 存在一点 ξ ∈[0,1]，使得
∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/(1＋ξ )· ∫ x^n dx ，积分限是0到1 ， ξ ∈[0,1]，
而0到1上的定积分 ∫ x^n dx ＝x^(n＋1)/(n＋1)＝1/(n＋1)
也就是说， ∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/[(1＋ξ )· (n＋1)] ，其中ξ ∈[0,1]，
因此，当n→∞时，原积分＝0
对于这种被积函数含有n的这种式子，如果能够化简就尽量进行化简，然后再积分，不过能行的通的很少，所以要具体问题具体对待。对于这道题目，呵呵，简单的放缩法就可以证明（夹逼定理的思想）。
证明方法如下：首先进行放大（把分母缩小就可以了）显然1+x>1+0=1（可以取等号），于是被积函数变成了简单的幂函数，直接运算定积分，然后取极限就可以了。
然后进行缩小（把分母放大）显然1+x<1+1=2（可以取等号），同样计算定积分之后取极限就可以证明了。
0≤∫（0～1）x^n/(1+x)dx≤∫（0～1）x^ndx=1/(n+1)，由夹逼原理，原极限为0
本题利用积分中值定理是典型的错误，由于此处有n，所以那个ξ是随着n而变化的，不能这样做。
简单放缩即可：
x^n/(1+x)<x^n
x^n求积分取极限为0，夹逼，极限为0 。
这道题是武大以前一到题目的翻版，当然简单了许多，分子给了具体表达式，可以直接放缩。
如果不能直接放缩，就需要利用被积函数在x=1处的连续性，利用定义，拟合证明。
上海交大2005年以及四川大学2011年都考了类似的
看川大第七题
http://wenku.baidu.com/view/f3af33d176a20029bd642d34.html
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