万能公式是如何推导的? 万能公式是怎样推导出来的?
\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\u662f\u5982\u4f55\u63a8\u5bfc\u7684?由余弦定理:a^2+b^2-c^2-2abcosC=0
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
得 (sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBcosC=0
转化 1-(cosA)^2+1-(cosB)^2-[1-(cosC)^2]-2sinAsinBcosC=0
即 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2sinAsinBcosC-1=0
又 cos(C)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
得 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2cosC[cos(C)+cosAcosB]-1=0
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
扩展资料:
设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)
tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π k∈Z)
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示;当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了。
【释义】:应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}
cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}
tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan(α/2)的式子,这种代换称为万能置换。
【推导】:(字符版)
sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2] cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2] tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]
绛旓細鍏充簬涓夎鍑芥暟鍏紡涓囪兘鍏紡鎬庝箞鎺ㄥ锛屼竾鑳藉叕寮忎笁瑙掑嚱鏁版帹瀵艰繖涓緢澶氫汉杩樹笉鐭ラ亾锛屼粖澶╂潵涓哄ぇ瀹惰В绛斾互涓婄殑闂锛岀幇鍦ㄨ鎴戜滑涓璧锋潵鐪嬬湅鍚э紒1銆乻in2A=2sinAcosA=2sinAcosA/(cos^2A+sin^2A).*,(鍥犱负cos^2A+sin^2A=1),鍐嶆妸*鍒嗗紡涓婁笅鍚岄櫎cos^2A,鍙緱浣欏鸡鐨勪篃鏄寲涓轰簩鍊嶈,闄や互cos^2A+sin^2A銆
绛旓細楂樹竴銆傚叾瀹炲氨浜嬪紩鍔鍏紡鐨鍙樺舰锛屽湪鐞嗘兂澶╀綋鍓嶆彁涓嬶紝鐗╀綋鍦ㄥぉ浣撹〃闈㈢殑閲嶅姏澶у皬绛変簬澶╀綋瀵圭墿浣撶殑涓囨湁寮曞姏澶у皬銆傝澶╀綋琛ㄩ潰涓涓墿浣撹川閲忎负m锛屽ぉ浣撹川閲忎负M锛実涓哄ぉ浣撹〃闈㈢殑閲嶅姏鍔犻熷害锛孯涓哄ぉ浣撳崐寰勩侴Mm/(R^2)=mg 娑堝幓绛夊紡涓よ竟鐨刴寰楀埌锛欸M=gR^2 璇ュ紡绉颁负鈥滈粍閲戜唬鎹⑩濓紙鎴栤滈粍閲戜唬鎹㈠叕寮忊濓級銆傚叾涓璆涓轰竾...
绛旓細2013-11-29 姹備笁瑙掑嚱鏁伴噷闈㈢殑涓囪兘鍏紡鎺ㄥ浠ュ強杈呭姪瑙鍏紡鐨鎺ㄥ!璋㈣阿 4 2016-12-20 涓夎鍑芥暟鐨勪竾鑳戒唬鎹㈠叕寮 149 2012-07-08 涓夎鍑芥暟鐨勪竾鑳界疆鎹鍏紡鏄庢牱鎺ㄥ鐨? 22 2010-02-05 涓夎鍑芥暟涓囪兘鍏紡涓轰粈涔堜竾鑳 115 2012-02-06 涓夎鍑芥暟涓囪兘鍏紡鐨勪竴浜涢棶棰樸傘傘 12 鏇村...
绛旓細鍏充簬涓夎鍑芥暟涓囪兘鍏紡濡備綍鎺ㄥ锛屼竾鑳藉叕寮忎笁瑙掑嚱鏁版帹瀵艰繖涓緢澶氫汉杩樹笉鐭ラ亾锛屼粖澶╂潵涓哄ぇ瀹惰В绛斾互涓婄殑闂锛岀幇鍦ㄨ鎴戜滑涓璧锋潵鐪嬬湅鍚э紒1銆乧os2X=(cos²X-sin²X)/(cos²X+sin²X)=1-tan²X/1+tan²X(娉:鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍚屾椂闄や互cos²X)澶熺畝鍗曞惂!銆傛湰鏂囧埌姝ゅ垎浜畬姣曪紝...
绛旓細sin(2a)=2tana/(1+(tana)^2)cos(2a)=(1-(tana)^2)/(1+(tana)^2)tan(2a)=2tana/(1-(tana)^2)浠ヤ笂涓変釜鍏紡灏辨槸涓囪兘鍏紡銆
绛旓細涓よ鍜屼笌宸殑涓夎鍑芥暟鍏紡 涓囪兘鍏紡 sin锛埼憋紜尾锛夛紳sin伪cos尾锛媍os伪sin尾 sin锛埼憋紞尾锛夛紳sin伪cos尾锛峜os伪sin尾 cos锛埼憋紜尾锛夛紳cos伪cos尾锛峴in伪sin尾 cos锛埼憋紞尾锛夛紳cos伪cos尾锛媠in伪sin尾 tan伪锛媡an尾 tan锛埼憋紜尾锛夛紳鈥斺斺1锛峵an伪 路tan尾 tan伪锛峵an尾 tan锛埼憋紞尾锛...
绛旓細涓夎鍑芥暟瀵逛簬鍚勪綅瀛︽暟瀛︾殑鍚屽鏉ヨ锛屽簲璇ュ緢闅惧惂锛屾垜鏁寸悊浜嗕竴浜涗笁瑙掑嚱鏁扮殑鎺ㄥ鍏紡缁欏ぇ瀹跺弬鑰冿紝甯屾湜瀵瑰ぇ瀹舵湁鎵甯姪銆備笁瑙掑嚱鏁版帹瀵煎叕寮忊斺涓囪兘鍏紡鎺ㄥ sin2伪=2sin伪cos伪=2sin伪cos伪/[cos2(伪)+sin2(伪)]锛(鍥犱负cos2(伪)+sin2(伪)=1)鍐嶆妸鍒嗗紡涓婁笅鍚岄櫎cos^2(伪)锛屽彲寰梥in2伪=2tan伪/[...
绛旓細cosA閮藉彲浠ョ敤tan(A/2)鏉ヨ〃绀,褰撹姹備竴涓插嚱鏁板紡鏈鍊肩殑鏃跺,灏卞彲浠ョ敤涓囪兘鍏紡,鎺ㄥ鎴愬彧鍚湁涓涓彉閲忕殑鍑芥暟,鏈鍊煎氨寰堝ソ姹備簡.鍙傝冭祫鏂欙細http://baike.baidu.com/view/3113805.htm
绛旓細sin2A=2sinAcosA=2sinAcosA/(cos^2A+sin^2A)...*,(鍥犱负cos^2A+sin^2A=1),鍐嶆妸*鍒嗗紡涓婁笅鍚岄櫎cos^2A,鍙緱 浣欏鸡鐨勪篃鏄寲涓轰簩鍊嶈,闄や互cos^2A+sin^2A
绛旓細璁総an(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) (A鈮2k蟺+蟺锛宬鈭坆aiZ)tanA=2t/(1-t^2) (A鈮2k蟺+蟺锛宬鈭圸)cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A鈮2k蟺+蟺 k鈭圸)灏辨槸璇磗inA.tanA.cosA閮藉彲浠ョ敤tan(A/2)鏉ヨ〃绀猴紝褰撹姹備竴涓插嚱鏁板紡鏈鍊肩殑鏃跺欙紝灏卞彲浠ョ敤涓囪兘鍏紡锛鎺ㄥ鎴愬彧鍚湁涓涓彉閲忕殑鍑芥暟锛屾渶鍊...