求曲线所围成图形的面积 ρ=2acosθ，用定积分算 求极坐标下曲线所围图形的面积 r=2acosθ,为什么列定积...

\u6c42\u66f2\u7ebf\u56f4\u6210\u7684\u56fe\u5f62\u9762\u79ef\uff1a\u03c1\uff1d2acos\u03b8

\u5177\u4f53\u56de\u7b54\u5982\u56fe\uff1a

\u7279\u6b8a\u503c\u6807\u8bb0\u4e0b\u6765\u53ef\u4ee5\u5f88\u5feb\u7684\u7ed8\u51fa\u56fe\u5f62\u5927\u81f4\u7684\u5f62\u72b6\uff0c\u4ece\u800c\u8fc5\u901f\u5224\u65ad\u5927\u81f4\u7684\u79ef\u5206\u533a\u95f4\u3002
\u6bd4\u5982\u672c\u9898\uff0ccos\u03b8\u5728-\u03c0/2\u3001\u03c0/2\u7684\u503c\u5747\u4e3a0\uff0c\u90a3\u4e48\uff08-\u03c0/2\u2192\u03c0/2\uff09\u533a\u95f4\u7684\u66f2\u7ebf\u5fc5\u7136\u662f\u95ed\u5408\u7684\uff0c\u7136\u540e\u7ed8\u56fe\u53d1\u73b0\u672c\u66f2\u7ebf\u6709\u5de6\u53f3\u4e24\u4e2a\u95ed\u5408\u533a\u57df\uff0c\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u63a8\u65ad\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u7684\u79ef\u5206\u533a\u95f4\u4e3a\uff08-\u03c0/2\u2192\u03c0/2\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u8bbeOxyz\u662f\u6b27\u6c0f\u7a7a\u95f4E3\u4e2d\u7684\u7b1b\u5361\u513f\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\uff0cr\u4e3a\u66f2\u7ebfC\u4e0a\u70b9\u7684\u5411\u5f84\uff0c\u4e8e\u662f\u6709\u3002\u4e0a\u5f0f\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebfC\u7684\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff0ct\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebfC\u7684\u53c2\u6570\uff0c\u5e76\u4e14\u6309\u7167\u53c2\u6570\u589e\u52a0\u7684\u65b9\u5411\u81ea\u7136\u5730\u786e\u5b9a\u4e86\u66f2\u7ebfC\u7684\u6b63\u5411\u3002\u66f2\u7ebf\u8bba\u4e2d\u5e38\u8ba8\u8bba\u6b63\u5219\u66f2\u7ebf\uff0c\u5373\u5176\u4e09\u4e2a\u5750\u6807\u51fd\u6570x(t)\uff0cy(t)\uff0cz(t)\u7684\u5bfc\u6570\u5747\u8fde\u7eed\u4e14\u5bf9\u4efb\u610ft\u4e0d\u540c\u65f6\u4e3a\u96f6\u7684\u66f2\u7ebf\u3002
\u5bf9\u4e8e\u6b63\u5219\u66f2\u7ebf\uff0c\u603b\u53ef\u53d6\u5176\u5f27\u957fs\u4f5c\u4e3a\u53c2\u6570\uff0c\u5b83\u79f0\u4e3a\u81ea\u7136\u53c2\u6570\u6216\u5f27\u957f\u53c2\u6570\u3002\u5f27\u957f\u53c2\u6570s\u7528 \u6765\u5b9a\u4e49\uff0c\u5b83\u8868\u793a\u66f2\u7ebfC\u4ecer(\u03b1)\u5230r(t)\u4e4b\u95f4\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u4ee5\u4e0b\u8fd8\u5047\u5b9a\u66f2\u7ebfC\u7684\u5750\u6807\u51fd\u6570\u90fd\u5177\u6709\u4e09\u9636\u8fde\u7eed\u5bfc\u6570\uff0c\u5373\u66f2\u7ebf\u662fC3\u9636\u7684\u3002
\u6545\u66f2\u7387\u5ea6\u91cf\u4e86\u66f2\u7ebf\u4e0a\u76f8\u90bb\u4e24\u70b9\u7684\u5207\u5411\u91cf\u7684\u5939\u89d2\u5173\u4e8e\u5f27\u957f\u7684\u53d8\u5316\u7387\u3002\u76f4\u7ebf\u7684\u66f2\u7387\u6052\u4e3a 0\u3002\u5706\u5468\u7684\u66f2\u7387\u7b49\u4e8e\u5176\u534a\u5f84\u7684\u5012\u6570\u3002\u5f53\u66f2\u7ebfC\u5728p(s)\u70b9\u7684\u66f2\u7387k\u22600\u65f6\uff0c\u5728p(s)\u70b9\u7684\u4e3b\u6cd5\u7ebf\u4e0a\u6cbfn(s)\u7684\u6b63\u5411\u53d6\u70b9Q\uff0c\u4f7f\u5f97pQ=1/k,\u5728p\u70b9\u7684\u5bc6\u5207\u5e73\u9762\u4e0a\u4ee5Q\u4e3a\u4e2d\u5fc3\u3002
1/k\u4e3a\u534a\u5f84\u7684\u5706\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebfC\u5728p\u70b9\u7684\u66f2\u7387\u5706\u6216\u5bc6\u5207\u5706\uff0cQ\u548c1/k\u5206\u522b\u79f0\u4e3a\u66f2\u7387\u4e2d\u5fc3\u548c\u66f2\u7387\u534a\u5f84\u3002\u5bc6\u5207\u5706\u662f\u8fc7\u66f2\u7ebfC\u4e0ap(s)\u70b9\u548c\u90bb\u8fd1\u4e24\u70b9\u7684\u5706\u7684\u6781\u9650\u4f4d\u7f6e\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u66f2\u7ebf

\u641c\u4e00\u4e0b\uff1a\u6c42\u6781\u5750\u6807\u4e0b\u66f2\u7ebf\u6240\u56f4\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef
r=2acos\u03b8,\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5217\u5b9a\u79ef\u5206\u65b9\u7a0b\u662fS=\u222b1/2*\u03c1^2d\u03b8

解题过程如下：

cosθ=ρ/2a>=0

所以θ范围是（-π/2,π/2)

S=∫1/2*ρ^2dθ

=∫2a^2cosθdθ

=a^2∫(1+cos2θ)dθ

=a^2+1/2a^2sin2θ

积分范围是（-π/2,π/2）

故S=a^2(π/2+π/2)

=πa^2

扩展资料

定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

因为这里极坐标半径取标准规定，为正数，用以表示几何中的长度（长度总是正数）a是参数，规定大于零的（表示起始位置θ=0时的半径）

的确可以证明 ρ=2acosθ 取（-π/2→π/2）是一个以(a,0)为圆心，半径为a的圆。不过，出题人要你用定积分你就得用定积分啊。

1/2(2acosθ)^2dθ从-π/2到π/2积分，半角公式变形为a^2(1+cos2θ)dθ，同样也会得到πa^2。

公式太多，直接弄成图片了，还不懂的话就追问吧

(x^2+y^2)^0.5=2ax/(x^2+y^2)^0.5
(x-a)^2+y^2=a^2
S=Pia^2

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