复变函数题，，求f(t)=sin³t的傅里叶变换 复变函数题，，求f(t)=sintcost的傅里叶变换
\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u9898\uff0c\u6c42f(t)=sin³t\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7531\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1asin3t=3sint-4sin³t,\u5f97\uff1a
sin³t=(3sint-sin3t)/4
\u5219sinat\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u4e3aj\u03c0[\u03b4(w+a)-\u03b4(w-a)]
\u6240\u4ee5f(t)\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u4e3aF(w)=j\u03c0{[3\u03b4(w+1)-3\u03b4(w-1)]-[\u03b4(w+3)-\u03b4(w-3)]}/4
sintcost=1/2sin2t
F(1/2sin2t)
=\u222b(-\u221e\uff0c+\u221e) 1/2sin2t \u00b7 e^-jwt dt
\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u53ef\u5f97\u539f\u5f0f=
1/2\u222b(-\u221e\uff0c+\u221e) j/2( e^-2jt - e^2jt )e^-jwt dt
=j/4\u222b(-\u221e\uff0c+\u221e) e^-j(w+2)t - e^-j(w-2)t dt
\u7528\u03b4\u51fd\u6570\u7684\u5085\u6c0f\u53d8\u6362 \u5f97\u539f\u5f0f=
j/2 \u03c0[\u03b4(w+2)-\u03b4(w-2)]
\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f: sin2t=j/2 (e^-2jt - e^2jt)
\u03b4\u51fd\u6570\u7684\u5085\u6c0f\u53d8\u6362:
F(e^jw\u3002t)=\u222b(-\u221e\uff0c+\u221e) e^j(w\u3002-w)t dt =2\u03c0\u03b4(w\u3002-w)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u5e38\u7528\u5bfc\u6570\u516c\u5f0f\uff1a
1.y=c(c\u4e3a\u5e38\u6570) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna\uff0cy=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x\uff0cy=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/\u221a1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/\u221a1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
求解过程如下：
（1）由三倍角公式：sin³t=3sint-4sin³t，得：sin³t=(3sint-sin3t)/4；
（2）则sinat的傅里叶变换为jπ[δ(w+a)-δ(w-a)]；
（3）所以f(t)的傅里叶变换为F(w)=jπ{[3δ(w+1)-3δ(w-1)]-[δ(w+3)-δ(w-3)]}/4；
（4）化简得：F(w)=πi/4[δ(ω-3)-3δ(ω-1)+3δ(ω+1)-δ(ω+3)]。
（5）f(t)=sin³t的傅里叶变换为F(w)=πi/4[δ(ω-3)-3δ(ω-1)+3δ(ω+1)-δ(ω+3)]。
扩展资料：
傅里叶变换方法
1、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解；
2、傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
3、两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数f(x)和g(x)的傅里叶变换F[f]和f[g]都存在，α和β为任意常系数，则有：
4、傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
如果函数本身就是正弦或者余弦
那么他的傅里叶分解就是他本身
只需要将f(t)降次就可以了
利用倍角公式和积化和差公式
过程如下：
用三倍角公式化简
绛旓細鐢ㄎ鍑芥暟鐨勫倕姘忓彉鎹 寰楀師寮= j/2 蟺[未(w+2)-未(w-2)]娆ф媺鍏紡: sin2t=j/2 (e^-2jt - e^2jt)未鍑芥暟鐨勫倕姘忓彉鎹:F(e^jw銆t)=鈭(-鈭烇紝+鈭) e^j(w銆-w)t dt =2蟺未(w銆-w)
绛旓細鐢ㄦ煰瑗夸箻娉曞叕寮忥紝寰
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绛旓細涓轰簡绠鍗曡捣瑙侊紝鍏姹俧'(1)銆傚浜巪z|<2鐨勬儏鍐碉紝鍥犱负z鍦ㄧН鍒嗗洖璺墍鍖呭洿鐨勫尯鍩熷唴锛岃屼笖鍒嗘瘝鏄В鏋鍑芥暟锛鎵浠 鏍规嵁鏌タ绉垎鍏紡锛屽緱鍒 娉細涓婇潰鐨勭Н鍒嗚寖鍥村簲璇ヤ负|zeta|=2锛屾墜璇傚浜巪z|>2鐨勬儏褰傚洜涓洪鐩腑瑕佹眰鐨刦'(3)灞炰簬z=3鐨勬儏褰紝鎵浠ヨ冭檻2<|z|<4鐨勬儏鍐点傛瀯閫犲洖璺疌锛殀z|=5.璁惧師鏉ョ殑鍥...
绛旓細鎴戜笅闈笉鏀归鍋氾紝鏈瑕佸厛姹俧(z)锛屽啀姹傚锛屽啀浠ｅ叆1.褰搢z|<2鏃 f(z)=2蟺i[sin(蟺z/6)]'=(2蟺i)(蟺/6)cos(蟺z/6)=(蟺²i/3)cos(蟺z/6)f '(z)=-(蟺²i/3)(蟺/6)sin(蟺z/6)=-(蟺³i/18)sin(蟺z/6)f '(1)=-(蟺³i/18)sin(蟺/6)...
绛旓細1銆佽鏄f(t)=e^(2ti)*cos(t+蟺/3)鐨勮瘽灏卞緢濂藉仛浜嗭紝璁瞔os灞曞紑鍒╃敤鍌呮皬鍙樻崲鐨勬ц川鏉ュ仛銆3銆佸皢蔚褰撳仛甯告暟锛屼护t=2x锛屽垯绉垎闄愬彉涓0鍒2蟺锛屽埄鐢ㄧ暀鏁板畾鐞嗗仛锛岀瓟妗堜负2蟺i 5銆佸厛姹傝繖涓埆e^zdz/z=2蟺i锛堟煰瑗跨Н鍒嗗叕寮忥級锛岀劧鍚庡埄鐢ㄥ彟涓绉嶆柟娉曞仛锛氫护z=e^i胃锛屽啀姹傝В涓婇潰鐨勭Н鍒嗗紡锛屽氨鍙互寰楀埌...
绛旓細27/4-27/4 i 鐩存帴浠ｅ叕寮忋
绛旓細宸茬煡鍑芥暟f(x)=lnx+m/x(m鈭圧).锛1锛夊綋m=e鏃锛屾眰f(x)鐨勬瀬灏忓硷紱锛2锛夎璁哄嚱鏁癵(x)=f鈥(x)-x/3闆剁偣鐨勪釜鏁帮紱锛3锛夎嫢瀵逛换鎰廱>a>0锛孾f(b)-f(a)]/(b-a)<1鎭掓垚绔嬶紝姹俶鐨勫彇鍊艰寖鍥淬(1)瑙ｆ瀽锛氬綋m=e鏃讹紝f(x)=lnx+e/x锛屼护f鈥(x)=(x-e)/x^2=0==>x=e锛涒埓褰搙鈭(...
绛旓細i^i=e^(iLni)=e^(ii[2kPi+Pi/2])=e^(-2k-1/2)Pi cosi=[e^(ii)+e^(-ii)]/2=[e^(-1)+e]/2 Ln(-i)=ln|-i|+i[2kPi+arg(-i)]=i[2k-1/2]Pi 姝ｅソ鐔熸倝锛屼緵鎵硅瘎鍙傝冦
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