问一个问题。复变函数，留数的问题。为什么这个题目中sinx可以变换为e的ix次方。啊啊 res[z^2/(1+z^4),0]= 多少 复变函数留数问...
\u590d\u53d8\u51fd\u6570\uff0c\u7559\u6570\u7684\u95ee\u9898\u3002\u4e3a\u4ec0\u4e48\u8fd9\u4e2a\u9898\u76ee\u4e2dsinx\u53ef\u4ee5\u53d8\u6362\u4e3ae\u7684ix\u6b21\u65b9\u3002
\u5982\u56fe\u3002
0\u4e0d\u662fz^2/(1+z^4)\u7684\u5947\u70b9\uff0c\u662f\u89e3\u6790\u70b9\uff0c\u6240\u4ee5\u7559\u6570\u5c31\u662f0\u3002
没有换成它因为要有e的iz次方才能用那个公式 又因为由欧拉定理得e的iz次方展开后它的虚部为sinz
正好就是我们要求的 所以先用e的iz次方求出来 再求它的虚部 就得到答案
欧拉公式 sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)
积分下限变了，原式是0→+∞，解是-∞→+∞
∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx
=∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx=∫(0,+∞)x*[e^ix-e^-ix]/[2i*(x^2+a^2)]dx
=∫(0,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx+∫(0,+∞)(-x)*e^-ix/[2i*(x^2+a^2)]dx.......偶函数令x=-x
=∫(0,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx+∫(-∞,0)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx
=∫(-∞,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx
=1/2i*∫(-∞,+∞)x*e^ix/(x^2+a^2)dx
原式求得∫(-∞,+∞)x*e^ix/(x^2+a^2)dx=πie^-a
所以∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx=1/2i*πie^-a=1/2*πe^-a
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