级数n分之一和(-3/2)的n次方相乘为什么收敛? 证明级数(1/2+1/3)+(1/2²+1/3...
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u7ea7\u65701/n^3/2\u4e3a\u4ec0\u4e48\u662f\u6536\u655b\u7684\uff1f1/n\u8fd9\u4e2a\u662f\u53d1\u6563\u7684\uff0c\u800c\u5206\u6bcdn\u7684\u6307\u6570\u5927\u4e8e1\u5c31\u662f\u6536\u655b\u7684\uff0c3/2>1\u6240\u4ee5\u6536\u655b\u3002
\u8be5\u7ea7\u6570\u6536\u655b\uff0c\u7b80\u5355\u8ba1\u7b97\u4e00\u4e0b\u5373\u53ef
可以用 nth root test 证明,此级数是发散的,因为通项绝对值开n方根取极限其结果 = 3/2 > 1
绛旓細鍙互鐢 nth root test 璇佹槑锛屾绾ф暟鏄彂鏁g殑锛屽洜涓洪氶」缁濆鍊煎紑n鏂规牴鍙栨瀬闄愬叾缁撴灉 = 3/2 > 1
绛旓細n鍒嗕箣涓鏄彂鏁c備綔涓烘暟鍒1/n鏄敹鏁涚殑锛屼互1/n浣滀负閫氶」鏋勬垚鐨绾ф暟鏄彂鏁g殑锛岃繖涓殑鍙戞暎鎬у熀鏈濇兂鏄細鍒嗘缁勫悎锛岄傚綋缂╁皬銆1銆乶鍒嗕箣涓鐨勬暃鏁fф槸鍙戞暎锛屼笌璋冨拰绾ф暟姣旇緝锛堢敤姣旇緝瀹℃暃娉曠殑鏋侀檺褰㈠紡锛夛紱[1/n]/[1/(n+1)]鐨勬瀬闄愭槸1锛涘洜姝よ繖涓や釜绾ф暟鍚屾暃鏁o紱鑰岃皟鍜岀骇鏁板彂鏁o紱鎵浠ヨ繖涓骇鏁板彂鏁c2 銆...
绛旓細n鍒嗕箣涓鐨勬暃鏁fф槸鍙戞暎銆備笌璋冨拰绾ф暟姣旇緝锛堢敤姣旇緝瀹℃暃娉曠殑鏋侀檺褰㈠紡锛夈傦紡鐨勬瀬闄愭槸1銆傚洜姝よ繖涓や釜绾ф暟鍚屾暃鏁c傝岃皟鍜岀骇鏁板彂鏁c傛墍浠ヨ繖涓骇鏁板彂鏁c傚叧浜庡彂鏁g骇鏁版眰鍜岀殑鍙拰娉曞畾鐞 鎴戜滑璇村彲鍜屾硶M鏄鍒欑殑锛屾槸鎸囧畠瀵规瘡涓敹鏁涚骇鏁版眰鐨勫拰锛屽潎涓庡叾鍘熸湰鏌タ鎰忎箟涓嬬殑鍜屼竴鑷淬傝繖绫荤粨鏋滆绉颁负M鐨勯樋璐濆皵鍨嬪畾鐞嗭紝...
绛旓細1/(n*n)鏀舵暃鐨勫師鍥狅細鍙互鐢1/x*x鐨勭Н鍒嗘斁澶т及璁★紝涔熷彲浠ョ敤鎸2鐨刱娆℃柟闆嗛」浼拌锛氱涓椤圭瓑浜1锛岀浜岀涓夐」涔嬪拰灏忎簬1/2(灏忎簬涓や釜1/2鐨勫钩鏂癸紝绗4椤瑰埌绗7椤逛箣鍜屽皬浜1/4(鍥涗釜1/4骞虫柟涔嬪拰锛夛紝绗8椤瑰埌绗15椤逛箣鍜屽皬浜1/8(鍏釜1/8骞虫柟涔嬪拰.锛夋讳箣锛屽皬浜庢敹鏁涚殑鍏瘮涓1/2鐨勭瓑姣绾ф暟锛屾墍浠...
绛旓細绾ф暟n鍒嗕箣涓鐨刵娆℃柟姹傚拰鏄1.29銆傚鍥撅細鑷劧鏁板箓姹傚拰鍏紡锛屾槸鏉庡杽鍏板厛鐢熸彁鍑虹殑涓绉嶆暟鍒楁眰鍜屽叕寮忋傚畠鐨勬彁鍑哄湪涓浗鏁板鍙蹭笂鏈夐噸瑕佸湴浣嶃傚畠涓嶆槸涓涓瓑宸暟鍒楋紝涔熶笉鏄竴涓瓑姣旀暟鍒楋紝浣嗛氳繃浜岄」寮忓畾鐞嗙殑灞曞紑寮忥紝鍙互杞寲涓烘寜绛夊樊鏁板垪锛岀敱浣庢骞傚埌楂樻骞傞掕繘姹傚拰锛屾渶缁堝彲鎺ㄥ鑷虫潕鍠勫叞鑷劧鏁板箓姹傚拰鍏紡鐨勫師褰備粙...
绛旓細涓1/N鐨勬暟鍒楋紝鍓峃椤规眰鍜岀殑鍏紡鏄粈涔堝彧鏁板垪姹傚拰锛欰n=1/n锛屾眰鍜屻傛眰n鍒嗕箣涓鐨勫墠n椤瑰拰 Sn=1+1/2+1/3+...+1/n鏄皟鍜绾ф暟锛屼篃鏄竴涓彂鏁g骇鏁帮紝瀹冩病鏈夐氶」鍏紡銆備絾瀹冨彲浠ョ敤涓浜涘叕寮忓幓閫艰繎瀹冪殑鍜屻傚鏈夛細1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1),褰搉寰堝ぇ鏃讹紝瀹冧滑涔嬮棿鐨勫樊灏遍潪甯稿皬銆傝繖鏃跺氨...
绛旓細锛-1锛塶-1姝h礋鐩搁棿琛ㄦ槑鏄氦閿绾ф暟锛屼娇鐢ㄨ幈甯冨凹鑼ㄥ垽鍒硶锛屽嵆婊¤冻un>0,un>un+1,1/n鐨勬瀬闄愮瓑浜0锛屽氨璇佹槑璇ョ骇鏁版敹鏁涖傝屼笖浣犺鐨勮皟鍜岀骇鏁版槸鎸1+1/2+1/3...鍗1/n锛坣>1)姹傚拰锛屼笉鏄眰1/n鐨勬瀬闄愩
绛旓細涓嶆敹
绛旓細璇绾ф暟 鈭<n=1,鈭> 1/n = +鈭, 鍙戞暎锛
绛旓細娉ㄦ剰绾ф暟e^x=鈭憍^n/n!瀵逛换鎰弜鏀舵暃锛屾晠limx^n/n锛=0,閭d箞lim(x/xo)^n/n锛=0