如何理解傅里叶变换公式?
傅里叶变换公式：
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。
且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。
绛旓細1銆鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠叕寮 鍏紡鎻忚堪锛氬叕寮忎腑F(蠅)涓篺(t)鐨勫儚鍑芥暟锛宖(t)涓篎(蠅)鐨勫儚鍘熷嚱鏁般2銆佸倕绔嬪彾鍙樻崲锛岃〃绀鸿兘灏嗘弧瓒充竴瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚堛傚湪涓嶅悓鐨勭爺绌堕鍩燂紝鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠叿鏈夊绉嶄笉鍚岀殑鍙樹綋褰㈠紡锛屽杩炵画鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠拰绂绘暎鍌呯珛鍙跺彉鎹...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠叕寮忥細鍌呯珛鍙跺彉鎹紝琛ㄧず鑳藉皢婊¤冻涓瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚銆傚湪涓嶅悓鐨勭爺绌堕鍩燂紝鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠叿鏈夊绉嶄笉鍚岀殑鍙樹綋褰㈠紡锛屽杩炵画鍌呯珛鍙跺彉鎹㈠拰绂绘暎鍌呯珛鍙跺彉鎹傛渶鍒濆倕绔嬪彾鍒嗘瀽鏄綔涓虹儹杩囩▼鐨勮В鏋愬垎鏋愮殑宸ュ叿琚彁鍑虹殑銆俧(t)鏄痶鐨勫懆鏈熷嚱鏁帮紝濡...
绛旓細(1)鍌呴噷鍙灞曞紑鍌呴噷鍙跺睍寮锛屾槸灏嗕竴涓懆鏈熸у嚱鏁帮紝鏀瑰啓鎴愪竴绯诲垪姝ｅ鸡鍑芥暟鍜屼綑寮﹀嚱鏁扮殑绾ф暟涔嬪拰锛屼笖璇モ滃拰鈥濈殑鏋侀檺锛屼笌鍘熷嚱鏁扮浉绛夈傦紙铏界劧姝ｅ鸡鍜屼綑寮﹀彧鐩稿樊涓涓 90搴 鐨勭浉瑙掞紝浣嗘槸杩欐牱璇存瘮杈冩槗浜鐞嗚В锛屽悗闈細鍐嶆彁鍒帮級銆傜骇鏁扮殑姣忎竴椤圭郴鏁帮紝琚О鍋氣滃倕绔嬪彾绯绘暟鈥濓紝鍙涓 F(nw)銆倃 鏄鍘熷嚱鏁扮殑鍛ㄦ湡鎵...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸涓绉嶅皢鍑芥暟浠庢椂鍩燂紙鏃堕棿鍩燂級杞崲鍒伴鍩燂紙棰戠巼鍩燂級鐨勬暟瀛﹀彉鎹銆傚父鐢ㄧ殑鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠叕寮忓涓嬶細1. 杩炵画鏃堕棿鍌呴噷鍙跺彉鎹紙Continuous Fourier Transform锛夛細F(蠅) = 鈭玔f(t) * e^(-j蠅t)] dt 鍏朵腑锛孎(蠅) 琛ㄧず棰戝煙鐨勫鏁板嚱鏁帮紝f(t) 琛ㄧず鏃跺煙鐨勫嚱鏁帮紝蠅 鏄鐜囷紝j 鏄櫄鏁板崟浣嶃2. ...
绛旓細瑕鐞嗚В鍌呯珛鍙跺彉鎹锛岀‘瀹為渶瑕佷竴瀹氱殑鑰愬績锛屽埆涓涓嬪瓙鎯崇潃鍌呯珛鍙跺彉鎹㈡槸鎬庝箞鍙樻崲鐨勶紝褰撶劧锛屼篃闇瑕佷竴瀹氱殑楂樼瓑鏁板鍩虹锛屾渶鍩烘湰鐨勬槸绾ф暟鍙樻崲锛屽叾涓倕绔嬪彾绾ф暟鍙樻崲鏄倕绔嬪彾鍙樻崲鐨勫熀纭鍏紡銆傚彉鎹㈡彁鍑 鍌呯珛鍙舵槸涓浣嶆硶鍥芥暟瀛﹀鍜岀墿鐞嗗瀹剁殑鍚嶅瓧锛岃嫳璇師鍚嶆槸Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier瀵圭儹浼犻...
绛旓細鍏紡濡備笅鍥撅細鍌呴噷鍙跺彉鎹锛岃〃绀鸿兘灏嗘弧瓒充竴瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚堛傚湪涓嶅悓鐨勭爺绌堕鍩燂紝鍌呯珛鍙跺彉鎹鍏锋湁澶氱涓嶅悓鐨勫彉浣撳舰寮忥紝濡傝繛缁倕閲屽彾鍙樻崲鍜岀鏁ｅ倕閲屽彾鍙樻崲銆傛渶鍒濆倕閲屽彾鍒嗘瀽鏄綔涓虹儹杩囩▼鐨勮В鏋愬垎鏋愮殑宸ュ叿琚彁鍑虹殑銆侳ourier transform鎴朤ransform...
绛旓細鎴戜滑鍙互閫氳繃浠ヤ笅姝ラ鏉ユ帹瀵鍌呴噷鍙跺彉鎹鐨鍏紡锛氶鍏堬紝鎴戜滑鍋囪淇″彿$f(t)$鍙互琛ㄧず涓烘棤闄愬涓寮﹀拰浣欏鸡鍑芥暟鐨勫彔鍔犲舰寮忥紝鍗筹細f(t)=\sum_^A_n\cos(n\omega_0t)+B_n\sin(n\omega_0t)鍏朵腑锛$A_n$鍜$B_n$鏄寮﹀拰浣欏鸡鍑芥暟鐨勭郴鏁帮紝$\omega_0$鏄俊鍙风殑鍩洪鐜囥傛垜浠皢涓婂紡涓殑姝ｅ鸡鍜屼綑寮﹀嚱鏁...
绛旓細鏁板鎻忚堪鏄細鑻ュ嚱鏁癴(x锛夊拰g(x锛夌殑鍌呴噷鍙跺彉鎹mathcal[f]鍜宮athcal[g]閮藉瓨鍦紝伪 鍜 尾 涓轰换鎰忓父绯绘暟锛屽垯mathcal[伪f+尾g]=伪锛宮athcal[f]+尾mathcal[g]锛涘倕閲屽彾鍙樻崲绠楃mathcal鍙粡褰掍竴鍖栨垚涓轰箞姝ｇ畻绗︼紱锛2锛夐绉绘ц川 鑻ュ嚱鏁癴( x 锛夊瓨鍦ㄥ倕閲屽彾鍙樻崲锛屽垯瀵逛换鎰忓疄鏁跋0锛屽嚱鏁癴(x) e...
绛旓細鍌呴噷鍙绯绘暟鐨勮绠鍏紡鏄$$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2\pi kn/N}$$銆1.鍏紡涓悇瀛楃鐨勬兜涔夛細鍏朵腑锛$x_n$ 鏄俊鍙 $x(t)$ 鍦ㄦ椂闂 $t=nT$ 澶勭殑閲囨牱鍊硷紝$N$ 鏄俊鍙风殑閲囨牱鐐规暟锛$k$ 鏄鐜囩储寮曪紝$T$ 鏄噰鏍烽棿闅斻2.鍌呴噷鍙剁郴鏁扮殑姒傚康锛氬倕閲屽彾绯绘暟...
绛旓細锛坰inh x)'=cosh x锛坈osh x)'=sinh x锛坱anh x)'=sech2x=1-tanh2 x锛坈oth x)'=-csch2x锛坰ech x)'=-sech x*tanh x锛坈sch x)'=-cschx*coth x
