定积分中的三角函数计算问题? 三角函数定积分公式
\u5b9a\u79ef\u5206\u4e2d\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u95ee\u9898\uff1f(1)\u8bf7\u4f60\u628a\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u62ff\u51fa\u6765
(2)\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u222b[a,b]f(x)dx=\u222b[a,b]f(a+b-x)dx,\u81ea\u5df1\u4e0b\u53bb\u7528\u6362\u5143\u6cd5\u8bc1\u660e
\u222b[0,\u03c0]xsinx/(1+cos²x)*dx
=\u222b[0,\u03c0](\u03c0-x)sin(\u03c0-x)/(1+cos²(\u03c0-x))*dx
=\u222b[0,\u03c0](\u03c0-x)sinx/(1+cos²x)*dx
\u79fb\u9879\u5c31\u67092\u222b[0,\u03c0]xsinx/(1+cos²x)*dx=\u03c0\u222b[0,\u03c0]sinx/(1+cos²x)*dx
\u9664\u4ee52\u5373\u53ef
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5b9a\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\u662f\u222bsinxdx=-cosx+C\u7b49\u7b49\uff0c\u79ef\u5206\u662f\u5fae\u5206\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\uff0c\u5373\u77e5\u9053\u4e86\u51fd\u6570\u7684\u5bfc\u51fd\u6570\uff0c\u53cd\u6c42\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u4e0a\uff0c\u79ef\u5206\u4f5c\u7528\u4e0d\u4ec5\u5982\u6b64\uff0c\u5b83\u88ab\u5927\u91cf\u5e94\u7528\u4e8e\u6c42\u548c\uff0c\u901a\u4fd7\u7684\u8bf4\u662f\u6c42\u66f2\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u57fa\u672c\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u4e4b\u4e00\uff0c\u662f\u4ee5\u89d2\u5ea6\uff08\u6570\u5b66\u4e0a\u6700\u5e38\u7528\u5f27\u5ea6\u5236\uff09\u4e3a\u81ea\u53d8\u91cf\uff0c\u89d2\u5ea6\u5bf9\u5e94\u4efb\u610f\u89d2\u7ec8\u8fb9\u4e0e\u5355\u4f4d\u5706\u4ea4\u70b9\u5750\u6807\u6216\u5176\u6bd4\u503c\u4e3a\u56e0\u53d8\u91cf\u7684\u51fd\u6570\u3002
这是一个很有用的公式,公式是这样的:
∫(0,π) xf(sinx)dx=π/2∫(0,π) f(sinx)dx
整个证明过程如下
这个是典型的区间再现,遇见这种题应该直接令x=a+b-t,a和b分别为积分得上下限,变量代换后算出来就是此结果。
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