定积分中的三角函数计算问题？ 三角函数定积分公式
\u5b9a\u79ef\u5206\u4e2d\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u95ee\u9898\uff1f(1)\u8bf7\u4f60\u628a\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u62ff\u51fa\u6765
(2)\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u222b[a,b]f(x)dx=\u222b[a,b]f(a+b-x)dx,\u81ea\u5df1\u4e0b\u53bb\u7528\u6362\u5143\u6cd5\u8bc1\u660e
\u222b[0,\u03c0]xsinx/(1+cos²x)*dx
=\u222b[0,\u03c0](\u03c0-x)sin(\u03c0-x)/(1+cos²(\u03c0-x))*dx
=\u222b[0,\u03c0](\u03c0-x)sinx/(1+cos²x)*dx
\u79fb\u9879\u5c31\u67092\u222b[0,\u03c0]xsinx/(1+cos²x)*dx=\u03c0\u222b[0,\u03c0]sinx/(1+cos²x)*dx
\u9664\u4ee52\u5373\u53ef
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5b9a\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\u662f\u222bsinxdx=-cosx+C\u7b49\u7b49\uff0c\u79ef\u5206\u662f\u5fae\u5206\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\uff0c\u5373\u77e5\u9053\u4e86\u51fd\u6570\u7684\u5bfc\u51fd\u6570\uff0c\u53cd\u6c42\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u4e0a\uff0c\u79ef\u5206\u4f5c\u7528\u4e0d\u4ec5\u5982\u6b64\uff0c\u5b83\u88ab\u5927\u91cf\u5e94\u7528\u4e8e\u6c42\u548c\uff0c\u901a\u4fd7\u7684\u8bf4\u662f\u6c42\u66f2\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u57fa\u672c\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u4e4b\u4e00\uff0c\u662f\u4ee5\u89d2\u5ea6\uff08\u6570\u5b66\u4e0a\u6700\u5e38\u7528\u5f27\u5ea6\u5236\uff09\u4e3a\u81ea\u53d8\u91cf\uff0c\u89d2\u5ea6\u5bf9\u5e94\u4efb\u610f\u89d2\u7ec8\u8fb9\u4e0e\u5355\u4f4d\u5706\u4ea4\u70b9\u5750\u6807\u6216\u5176\u6bd4\u503c\u4e3a\u56e0\u53d8\u91cf\u7684\u51fd\u6570\u3002
这是一个很有用的公式，公式是这样的：
∫(0,π) xf(sinx)dx=π/2∫(0,π) f(sinx)dx
整个证明过程如下
这个是典型的区间再现，遇见这种题应该直接令x=a+b-t，a和b分别为积分得上下限，变量代换后算出来就是此结果。
绛旓細鍒嗘瀽涓庤瘉鏄庤繃绋嬪鍥炬墍绀
绛旓細鈭(0,蟺) xf(sinx)dx=蟺/2鈭(0,蟺) f(sinx)dx 鏁翠釜璇佹槑杩囩▼濡備笅
绛旓細(2)鍒╃敤鍏紡鈭玔a,b]f(x)dx=鈭玔a,b]f(a+b-x)dx,鑷繁涓嬪幓鐢ㄦ崲鍏冩硶璇佹槑 鈭玔0,蟺]xsinx/(1+cos²x)*dx =鈭玔0,蟺](蟺-x)sin(蟺-x)/(1+cos²(蟺-x))*dx =鈭玔0,蟺](蟺-x)sinx/(1+cos²x)*dx 绉婚」灏辨湁2鈭玔0,蟺]xsinx/(1+cos²x)*dx=蟺鈭...
绛旓細鍒╃敤瀵圭О锛屽彲绠鍖璁＄畻閲忥細
绛旓細杩欓噷鐢ㄤ簡鎹㈠厓鍟婏紝涓嶆槸sinx鎹os杩欎箞闅忔剰銆傝屾槸浠=pi/2 -x銆傛墍浠in x= cost;cosx=sint;dt=dx.鎵浠ュ乏杈圭殑绉垎=鈭恜i/2,0銆 cost/(sint+cost) (-1)dt =鈭0锛宲i/2銆慶osx/(sinx+cosx)dx锛涗笉鎳傚啀闂紝婊℃剰鐐逛釜閲囩撼
绛旓細鏂规硶濡備笅锛岃浣滃弬鑰冿細鑻ユ湁甯姪锛岃閲囩撼銆
绛旓細瀹氱Н鍒鏄井绉垎鐨勪竴涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冨彲浠ョ敤鏉ユ眰瑙ｄ竴浜涙秹鍙婂埌杩炵画鍙樺寲鐨勯棶棰銆傚湪楂樹腑鏁板涓紝鎴戜滑閫氬父浣跨敤瀹氱Н鍒嗘潵姹傝В涓浜涙秹鍙婂埌闈㈢Н銆佷綋绉垨鑰呮诲拰鐨勯棶棰樸傚浜涓夎鍑芥暟鏁板垪鐨勫拰锛屾垜浠篃鍙互閫氳繃瀹氱Н鍒嗘潵姹傝В銆傞鍏堬紝鎴戜滑闇瑕佹槑纭粈涔堟槸涓夎鍑芥暟鏁板垪銆備笁瑙掑嚱鏁版暟鍒楁槸鎸囦竴涓暟鍒楋紝瀹冪殑姣忎竴椤归兘鏄竴涓笁瑙掑嚱鏁般
绛旓細浣犵殑闂鏄洜涓哄悓涔樹互浜唖ecx^2銆傝繖涓寘鍚玿鐨勫紡瀛愶紝鍦绉垎鍖哄煙涓婂瓨鍦▁=蟺/2鏃朵笉杩炵画锛屾墍浠ヤ綘鏀瑰彉浜嗚绉鍑芥暟鐨勮繛缁э紝绛旀涓嶅涔熷氨姝ｅ父浜嗐傞渶瑕佹敞鎰忕殑鏄笉鏄笉鑳藉垎瀛愬垎姣嶅悓涔樹互鍖呭惈x鐨勫紡瀛愶紝浣嗘槸涓嶈兘鏀瑰彉鍘熻绉嚱鏁扮殑杩炵画鎬с傚彟澶栵紝鏈姝ｇ‘鐨勬柟娉曞簲璇ユ槸璁緐=cosx锛岀劧鍚庣洿鎺ユ妸du=-sinxdx甯﹀叆鐩存帴灏...
绛旓細涓夎鍑芥暟瀹氱Н鍒鍏紡濡備笅锛1銆佲埆sinxdx=-cosx+C 2銆佲埆cosxdx=sinx+C 3銆佲埆tanxdx=ln|secx|+C 4銆佲埆cotxdx=ln|sinx|+C 5銆佲埆secxdx=ln|secx+tanx|+C 6銆佲埆cscxdx=ln|cscx鈥揷otx|+C 7銆佲埆sin2xdx=1/2x-1/4sin2x+C 8銆佲埆cos2xdx=1/2+1/4sin2x+C 9銆佲埆tan2xdx=tanx-x+C 10...
绛旓細鈭(- 2鈫2) 鈭(4 - x²)(sinx + 1) dx = 鈭(- 2鈫2) 鈭(4 - x²)sinx dx + 鈭(- 2鈫2) 鈭(4 - x²) dx锛屽墠濂囧悗鍋 = 0 + 2鈭(0鈫2) 鈭(4 - x²) dx = 2鈭(0鈫2) 鈭(4 - x²) dx 浠 = 2sint锛宒x = 2cost dt x = 0...
