如何证明函数f(x)=0是无穷小量？
根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x），lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题。
必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）。
无穷小量
是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
绛旓細鏍规嵁鏋侀檺鐨勬ц川锛屽鏋渇锛坸锛夊拰g锛坸锛夐兘鏈夋瀬闄愩傞偅涔坙im锛坒锛坸锛+g锛坸锛夛級=limf锛坸锛+limg锛坸锛夛紝lim锛坒锛坸锛-g锛坸锛夛級=limf锛坸锛-limg锛坸锛夈傛牴鎹繖涓ц川锛屽緢瀹规槗灏璇佹槑杩欎釜鍛介銆傚繀瑕佹э細濡傛灉lim锛坸鈫x0锛f锛坸锛=A锛屼护a锛坸锛=f锛坸锛-A锛屽垯lim锛坸鈫抶0锛塧锛坸锛=lim锛坸鈫抶0...
绛旓細璁捐繖涓鍑芥暟鏄痜(x)锛屽垯璁＄畻鏋侀檺lim(x->0) f(x)/x^n锛屽鏋滃綋n=p-1鏃讹紝鏋侀檺鍊=0銆傚綋n=p鏃讹紝鏋侀檺鍊=甯告暟锛屽垯鍙互鍒ゆ柇锛f(x)鏄x^p鐨勫悓闃鏃犵┓灏忥紝褰撹繖涓父鏁=1鏃讹紝f(x)鏄痻^p鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬銆傛牴鎹父鏁版墍瀵瑰簲鐨勯樁鏁板氨鍙互鐪嬪嚭鏄嚑闃舵棤绌峰皬銆傛棤绌峰皬閲忔槸鏋侀檺涓0鐨勫彉閲忚屼笉鏄暟閲0锛屾槸鎸囪嚜...
绛旓細鍑芥暟 鍊糵(x)涓庨浂鏃犻檺鎺ヨ繎锛屽嵆f(x)=0(鎴杅(1/x)=0)锛屽垯绉癴(x)涓哄綋x鈫抶0鏃剁殑鏃犵┓灏忛噺銆備緥濡傦紝f(x)=(x锛1)2鏄綋x鈫1鏃剁殑鏃犵┓灏忛噺锛宖(n)=1/n鏄綋n鈫掆垶鏃剁殑鏃犵┓灏忛噺锛宖(x)=sinx鏄綋x鈫0鏃剁殑鏃犵┓灏忛噺銆傜壒鍒鎸囧嚭鐨勬槸锛屽垏涓嶅彲鎶婂緢灏忕殑鏁颁笌鏃犵┓灏忛噺娣蜂负涓璋堛傝繖閲屽煎緱涓鎻...
绛旓細= 8|x-1/2| < 蔚锛屽彧椤 |x-2| < min{蔚/8,1/4}銆傚彇 未(蔚) = min{蔚/8,1/4} > 0锛屽垯褰 0< |x-1/2| < 未(蔚) 鏃讹紝灏辨湁|x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < 鈥< 蔚 锛屾牴鎹瀬闄愮殑瀹氫箟锛屽緱璇併傛暟瀛﹀畾涔 璁鍑芥暟f(x)鍦x0鐨勬煇涓鍘诲績閭诲煙鍐呮湁瀹氫箟锛堟垨|x|澶т簬鏌...
绛旓細鑳姐傚彇鍑芥暟f(x)=x^2*D(x)锛孌(x)涓虹媱鍒╁厠闆峰嚱鏁帮紝鍒欙細鈶爁(x)鍦▁=0鍙锛屼笖瀵兼暟涓0锛岃繖鏄洜涓虹敱瀹氫箟鏈塴im(f(x)-f(0))/(x-0)=limx*D(x)=0 (x鈫0)锛涒憽瀵逛换鎰x0鈮0锛岋紙i锛夎嫢x0鈭圦锛屾湁f(x0)=0锛屾鏃跺綋x浠ユ湁鐞嗘暟鐐硅秼浜巟0鏃讹紝(f(x)-f(x0))/(x-x0)=(x^2*D(...
绛旓細f锛坸锛夛紳xsinx锛屸埓f锛坸锛/x锛漵inx銆傛樉鐒讹紝锛1鈮inx鈮1锛屸埓锛1鈮锛坸锛/x鈮1锛屽張x锛0锛屸埓锛峹鈮锛坸锛夆墻x銆傗埖x鐨勫彇鍊兼槸涓婃棤鐣岀殑锛屸埓f锛坸锛夋棦涓嬫棤鐣岋紝涔熶笂鏃犵晫锛屸埓f锛坸锛夋槸鏃犵晫鍑芥暟銆
绛旓細涓嶄竴瀹氳兘鍙栧埌姝ｆ棤绌,寰楃湅鍏蜂綋鍑芥暟鐨勫煎煙,姣斿姝ｅ鸡鍑芥暟,鍊煎煙灏卞緢鐙獎銆 杩介棶 鎴戠殑鎰忔濇槸璇,姣斿瀹氫箟鍩熶负(0,+oo)鐨鍑芥暟f(x)=1/x,鍙互鍙栧煎埌姝ｆ棤绌峰ぇ鍚? 鍥炵瓟 姝ｆ棤绌蜂笉鏄竴涓,鍙槸涓涓秼鍚,鍑芥暟鐨勫煎煙鍦ㄦ鏃犵┓閮芥槸寮鍖洪棿,鑰屼笉鍙兘鍖呭惈涓涓彨鍋氭鏃犵┓鐨勭偣,濡傛灉鍦ㄨ繖閲岄棴鍖洪棿浜,閭ｄ箞浣犺寰椾竴涓湁鐣岀殑鐐瑰畠...
绛旓細娉曚竴锛氬浘鍍忔硶 鍑芥暟F锛圶锛=3/X寰堟槑鏄炬槸涓涓弽姣斾緥鍑芥暟锛屽畠鍏充簬鍘熺偣锛0锛0锛変腑蹇冨绉帮紝鍦ㄤ竴锛屼笁璞￠檺锛屽浘鍍忕被浼间笅鍥撅紝鑷虫鍙互寰堟槑鏄剧殑鐪嬪嚭瀹冨湪锛0锛屾鏃犵┓锛変笂鏄噺鍑芥暟 娉曚簩锛氬畾涔夋硶 鍦紙0锛屾鏃犵┓锛変笂浠绘剰閫夋嫨0<x1<x2 F(x1)-F(x2)=3/x1 - 3/x2 = 3[(x2-x1)/(x1x2)] >0 鍗...
绛旓細(1).鍒嗘瀽锛濡備綍璇佹槑鍑芥暟f(x)鍦0鍒版鏃犵┓涓婂崟璋冮掑 鍙渶璇佹槑锛氬綋x>0鏃讹紝鎬绘湁f(x)>f(0)鍗冲彲 璇佹槑锛氱敱棰樻剰鐭ワ細瀵逛换鎰弒,t灞炰簬R,閮芥湁f(s+t)=f(s)+f(t)+st 閭ｄ箞锛氬綋s=t=0鏃 鍙互寰楀埌锛歠(0)=f(0)+f(0)+0 鍗筹細f(0)=0 鍙堝洜涓猴細瀵逛换鎰弜>0锛屾湁f(x)>0 鍥犳锛氬浠绘剰x>0...
绛旓細璇佹槑锛氳 x = y^2,f(y)=f(y^2), ===> f(x)= f(x^(1/2))浠荤粰x 澶т簬0锛 涓嶇瓑浜1, f锛坸) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=...=f(x^(1/2^n))=...鍥犱负 x, x^(1/2), ..., x^(1/2^n), ... ---> 1 鏍规嵁杩炵画鎬э紝 浜庢槸 f锛1锛=lim f(x^(...
