怎样解一元二次方程？ 如何解一元二次方程?
\u5982\u4f55\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5
\u4e00\u3001\u77e5\u8bc6\u8981\u70b9\uff1a
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u90fd\u662f\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\uff0c\u5b83\u662f\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7684\u4e00\u4e2a\u91cd\u70b9\u5185\u5bb9\uff0c\u4e5f\u662f\u4eca\u540e\u5b66\u4e60\u6570\u5b66\u7684\u57fa
\u7840\uff0c\u5e94\u5f15\u8d77\u540c\u5b66\u4eec\u7684\u91cd\u89c6\u3002
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e3a\uff1aax2+bx+c=0, (a\u22600)\uff0c\u5b83\u662f\u53ea\u542b\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\uff0c\u5e76\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u6570\u662f2
\u7684\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\u3002
\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u57fa\u672c\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u662f\u901a\u8fc7\u201c\u964d\u6b21\u201d\u5c06\u5b83\u5316\u4e3a\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u3002\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u56db\u79cd\u89e3
\u6cd5\uff1a1\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\uff1b2\u3001\u914d\u65b9\u6cd5\uff1b3\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1b4\u3001\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u3002
\u4e8c\u3001\u65b9\u6cd5\u3001\u4f8b\u9898\u7cbe\u8bb2\uff1a
1\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\uff1a
\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u5c31\u662f\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6c42\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u5f62\u5982(x-m)2=n (n\u22650)\u7684
\u65b9\u7a0b\uff0c\u5176\u89e3\u4e3ax=m\u00b1 .
\u4f8b1\uff0e\u89e3\u65b9\u7a0b\uff081\uff09(3x+1)2=7 \uff082\uff099x2-24x+16=11
\u5206\u6790\uff1a\uff081\uff09\u6b64\u65b9\u7a0b\u663e\u7136\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u597d\u505a\uff0c\uff082\uff09\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f(3x-4)2\uff0c\u53f3\u8fb9=11>0\uff0c\u6240\u4ee5
\u6b64\u65b9\u7a0b\u4e5f\u53ef\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u3002
\uff081\uff09\u89e3\uff1a(3x+1)2=7\u00d7
\u2234(3x+1)2=5
\u22343x+1=\u00b1(\u6ce8\u610f\u4e0d\u8981\u4e22\u89e3)
\u2234x=
\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax1=,x2=
\uff082\uff09\u89e3\uff1a 9x2-24x+16=11
\u2234(3x-4)2=11
\u22343x-4=\u00b1
\u2234x=
\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax1=,x2=
2\uff0e\u914d\u65b9\u6cd5\uff1a\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0bax2+bx+c=0 (a\u22600)
\u5148\u5c06\u5e38\u6570c\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9\uff1aax2+bx=-c
\u5c06\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a1\uff1ax2+x=-
\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u5206\u522b\u52a0\u4e0a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\uff1ax2+x+( )2=- +( )2
\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u6210\u4e3a\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff1a(x+ )2=
\u5f53b2-4ac\u22650\u65f6\uff0cx+ =\u00b1
\u2234x=(\u8fd9\u5c31\u662f\u6c42\u6839\u516c\u5f0f)
\u4f8b2\uff0e\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b 3x2-4x-2=0
\u89e3\uff1a\u5c06\u5e38\u6570\u9879\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9 3x2-4x=2
\u5c06\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a1\uff1ax2-x=
\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u52a0\u4e0a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\uff1ax2-x+( )2= +( )2
\u914d\u65b9\uff1a(x-)2=
\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u5f97\uff1ax-=\u00b1
\u2234x=
\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax1=,x2= .
3\uff0e\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1a\u628a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u7136\u540e\u8ba1\u7b97\u5224\u522b\u5f0f\u25b3=b2-4ac\u7684\u503c\uff0c\u5f53b2-4ac\u22650\u65f6\uff0c\u628a\u5404\u9879
\u7cfb\u6570a, b, c\u7684\u503c\u4ee3\u5165\u6c42\u6839\u516c\u5f0fx=(b2-4ac\u22650)\u5c31\u53ef\u5f97\u5230\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u3002
\u4f8b3\uff0e\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b 2x2-8x=-5
\u89e3\uff1a\u5c06\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3a\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff1a2x2-8x+5=0
\u2234a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4\u00d72\u00d75=64-40=24>0
\u2234x= = =
\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax1=,x2= .
4\uff0e\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff1a\u628a\u65b9\u7a0b\u53d8\u5f62\u4e3a\u4e00\u8fb9\u662f\u96f6\uff0c\u628a\u53e6\u4e00\u8fb9\u7684\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u6b21\u56e0\u5f0f\u7684\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8ba9
\u4e24\u4e2a\u4e00\u6b21\u56e0\u5f0f\u5206\u522b\u7b49\u4e8e\u96f6\uff0c\u5f97\u5230\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u89e3\u8fd9\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u6240\u5f97\u5230\u7684\u6839\uff0c\u5c31\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a
\u6839\u3002\u8fd9\u79cd\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb\u505a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u3002
\u4f8b4\uff0e\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u89e3\u4e0b\u5217\u65b9\u7a0b\uff1a
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (\u9009\u5b66\uff09 (4)x2-2( + )x+4=0 \uff08\u9009\u5b66\uff09
(1)\u89e3\uff1a(x+3)(x-6)=-8 \u5316\u7b80\u6574\u7406\u5f97
x2-3x-10=0 (\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u4e3a\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\uff0c\u53f3\u8fb9\u4e3a\u96f6)
(x-5)(x+2)=0 (\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f)
\u2234x-5=0\u6216x+2=0 (\u8f6c\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b)
\u2234x1=5,x2=-2\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
(2)\u89e3\uff1a2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (\u7528\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u5c06\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f)
\u2234x=0\u62162x+3=0 (\u8f6c\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b)
\u2234x1=0\uff0cx2=-\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u6ce8\u610f\uff1a\u6709\u4e9b\u540c\u5b66\u505a\u8fd9\u79cd\u9898\u76ee\u65f6\u5bb9\u6613\u4e22\u6389x=0\u8fd9\u4e2a\u89e3\uff0c\u5e94\u8bb0\u4f4f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u89e3\u3002
(3)\u89e3\uff1a6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u65f6\u8981\u7279\u522b\u6ce8\u610f\u7b26\u53f7\u4e0d\u8981\u51fa\u9519)
\u22342x-5=0\u62163x+10=0
\u2234x1=, x2=- \u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
(4)\u89e3\uff1ax2-2(+ )x+4 =0 \uff08\u22354 \u53ef\u5206\u89e3\u4e3a2 •2 \uff0c\u2234\u6b64\u9898\u53ef\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff09
(x-2)(x-2 )=0
\u2234x1=2 ,x2=2\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u5c0f\u7ed3\uff1a
\u4e00\u822c\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u6700\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u8fd8\u662f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u65f6\uff0c\u4e00\u822c\u8981\u5148\u5c06\u65b9\u7a0b\u5199\u6210\u4e00\u822c
\u5f62\u5f0f\uff0c\u540c\u65f6\u5e94\u4f7f\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a\u6b63\u6570\u3002
\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u662f\u6700\u57fa\u672c\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
\u516c\u5f0f\u6cd5\u548c\u914d\u65b9\u6cd5\u662f\u6700\u91cd\u8981\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u516c\u5f0f\u6cd5\u9002\u7528\u4e8e\u4efb\u4f55\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff08\u6709\u4eba\u79f0\u4e4b\u4e3a\u4e07\u80fd\u6cd5\uff09\uff0c\u5728\u4f7f\u7528\u516c\u5f0f
\u6cd5\u65f6\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u628a\u539f\u65b9\u7a0b\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u4ee5\u4fbf\u786e\u5b9a\u7cfb\u6570\uff0c\u800c\u4e14\u5728\u7528\u516c\u5f0f\u524d\u5e94\u5148\u8ba1\u7b97\u5224\u522b\u5f0f\u7684\u503c\uff0c\u4ee5\u4fbf\u5224\u65ad\u65b9\u7a0b
\u662f\u5426\u6709\u89e3\u3002
\u914d\u65b9\u6cd5\u662f\u63a8\u5bfc\u516c\u5f0f\u7684\u5de5\u5177\uff0c\u638c\u63e1\u516c\u5f0f\u6cd5\u540e\u5c31\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e86\uff0c\u6240\u4ee5\u4e00\u822c\u4e0d\u7528\u914d\u65b9\u6cd5
\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\u5728\u5b66\u4e60\u5176\u4ed6\u6570\u5b66\u77e5\u8bc6\u65f6\u6709\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\uff0c\u662f\u521d\u4e2d\u8981\u6c42\u638c\u63e1\u7684\u4e09\u79cd\u91cd\u8981\u7684\u6570\u5b66\u65b9
\u6cd5\u4e4b\u4e00\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u638c\u63e1\u597d\u3002\uff08\u4e09\u79cd\u91cd\u8981\u7684\u6570\u5b66\u65b9\u6cd5\uff1a\u6362\u5143\u6cd5\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\uff0c\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u6cd5\uff09\u3002
\u4f8b5\uff0e\u7528\u9002\u5f53\u7684\u65b9\u6cd5\u89e3\u4e0b\u5217\u65b9\u7a0b\u3002(\u9009\u5b66\uff09
\uff081\uff094(x+2)2-9(x-3)2=0 \uff082\uff09x2+(2-)x+ -3=0
\uff083\uff09 x2-2 x=- \uff084\uff094x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
\u5206\u6790\uff1a\uff081\uff09\u9996\u5148\u5e94\u89c2\u5bdf\u9898\u76ee\u6709\u65e0\u7279\u70b9\uff0c\u4e0d\u8981\u76f2\u76ee\u5730\u5148\u505a\u4e58\u6cd5\u8fd0\u7b97\u3002\u89c2\u5bdf\u540e\u53d1\u73b0\uff0c\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u53ef\u7528\u5e73\u65b9\u5dee
\u516c\u5f0f\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff0c\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u6b21\u56e0\u5f0f\u7684\u4e58\u79ef\u3002
\uff082\uff09\u53ef\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u5c06\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\uff083\uff09\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u540e\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u3002
\uff084\uff09\u628a\u65b9\u7a0b\u53d8\u5f62\u4e3a 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0\uff0c\u7136\u540e\u53ef\u5229\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\uff081\uff09\u89e3\uff1a4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0\u6216-x+13=0
\u2234x1=1,x2=13
\uff082\uff09\u89e3\uff1a x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0\u6216x-1=0
\u2234x1=-3\uff0cx2=1
\uff083\uff09\u89e3\uff1ax2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (\u5148\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f)
\u25b3=(-2 )2-4 \u00d7=12-8=4>0
\u2234x=
\u2234x1=,x2=
\uff084\uff09\u89e3\uff1a4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0\u62162x-(m+3)=0
\u2234x1= ,x2=
\u4f8b6\uff0e\u6c42\u65b9\u7a0b3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0\u7684\u4e8c\u6839\u3002 (\u9009\u5b66\uff09
\u5206\u6790\uff1a\u6b64\u65b9\u7a0b\u5982\u679c\u5148\u505a\u4e58\u65b9\uff0c\u4e58\u6cd5\uff0c\u5408\u5e76\u540c\u7c7b\u9879\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u540e\u518d\u505a\u5c06\u4f1a\u6bd4\u8f83\u7e41\u7410\uff0c\u4ed4\u7ec6\u89c2\u5bdf\u9898\u76ee\uff0c\u6211
\u4eec\u53d1\u73b0\u5982\u679c\u628ax+1\u548cx-4\u5206\u522b\u770b\u4f5c\u4e00\u4e2a\u6574\u4f53\uff0c\u5219\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u53ef\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff08\u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u8fd0\u7528\u6362\u5143\u7684\u65b9
\u6cd5\uff09
\u89e3\uff1a[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
\u5373 (5x-5)(2x-3)=0
\u22345(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
\u2234x-1=0\u62162x-3=0
\u2234x1=1,x2=\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u4f8b7\uff0e\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u5173\u4e8ex\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bx2+px+q=0
\u89e3\uff1ax2+px+q=0\u53ef\u53d8\u5f62\u4e3a
x2+px=-q (\u5e38\u6570\u9879\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9)
x2+px+( )2=-q+()2 (\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u52a0\u4e0a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9)
(x+)2= (\u914d\u65b9)
\u5f53p2-4q\u22650\u65f6\uff0c\u22650\uff08\u5fc5\u987b\u5bf9p2-4q\u8fdb\u884c\u5206\u7c7b\u8ba8\u8bba\uff09
\u2234x=- \u00b1=
\u2234x1= ,x2=
\u5f53p2-4q<0\u65f6\uff0c<0\u6b64\u65f6\u539f\u65b9\u7a0b\u65e0\u5b9e\u6839\u3002
\u8bf4\u660e\uff1a\u672c\u9898\u662f\u542b\u6709\u5b57\u6bcd\u7cfb\u6570\u7684\u65b9\u7a0b\uff0c\u9898\u76ee\u4e2d\u5bf9p, q\u6ca1\u6709\u9644\u52a0\u6761\u4ef6\uff0c\u56e0\u6b64\u5728\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u5e94\u968f\u65f6\u6ce8\u610f\u5bf9\u5b57\u6bcd
\u53d6\u503c\u7684\u8981\u6c42\uff0c\u5fc5\u8981\u65f6\u8fdb\u884c\u5206\u7c7b\u8ba8\u8bba\u3002
\u7ec3\u4e60\uff1a
\uff08\u4e00\uff09\u7528\u9002\u5f53\u7684\u65b9\u6cd5\u89e3\u4e0b\u5217\u65b9\u7a0b\uff1a
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
\uff08\u4e8c\uff09\u89e3\u4e0b\u5217\u5173\u4e8ex\u7684\u65b9\u7a0b
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
\u7ec3\u4e60\u53c2\u8003\u7b54\u6848\uff1a
\uff08\u4e00\uff091.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.\u89e3\uff1a\uff08\u628a2x+3\u770b\u4f5c\u4e00\u4e2a\u6574\u4f53\uff0c\u5c06\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff09
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
\u5373 (2x+9)(2x+2)=0
\u22342x+9=0\u62162x+2=0
\u2234x1=-,x2=-1\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\uff08\u4e8c\uff091\uff0e\u89e3\uff1ax2-ax+( +b)( -b)=0 2\u3001\u89e3\uff1ax2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
\u2234x-( +b)=0\u6216x-( -b) =0 x- a=0\u6216x-a=0
\u2234x1= +b\uff0cx2= -b\u662f \u2234x1= a\uff0cx2=a\u662f
\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002 \u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u6d4b\u8bd5
\u9009\u62e9\u9898
1\uff0e\u65b9\u7a0bx(x-5)=5(x-5)\u7684\u6839\u662f\uff08 \uff09
A\u3001x=5 B\u3001x=-5 C\u3001x1=x2=5 D\u3001x1=x2=-5
2\uff0e\u591a\u9879\u5f0fa2+4a-10\u7684\u503c\u7b49\u4e8e11\uff0c\u5219a\u7684\u503c\u4e3a\uff08 \uff09\u3002
A\u30013\u62167 B\u3001-3\u62167 C\u30013\u6216-7 D\u3001-3\u6216-7
3\uff0e\u82e5\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bax2+bx+c=0\u4e2d\u7684\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\uff0c\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u548c\u5e38\u6570\u9879\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u96f6\uff0c\u90a3\u4e48\u65b9\u7a0b\u5fc5\u6709\u4e00\u4e2a
\u6839\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u30010 B\u30011 C\u3001-1 D\u3001\u00b11
4\uff0e \u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bax2+bx+c=0\u6709\u4e00\u4e2a\u6839\u662f\u96f6\u7684\u6761\u4ef6\u4e3a\uff08 \uff09\u3002
A\u3001b\u22600\u4e14c=0 B\u3001b=0\u4e14c\u22600
C\u3001b=0\u4e14c=0 D\u3001c=0
5\uff0e \u65b9\u7a0bx2-3x=10\u7684\u4e24\u4e2a\u6839\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u3001-2\uff0c5 B\u30012\uff0c-5 C\u30012\uff0c5 D\u3001-2\uff0c-5
6\uff0e \u65b9\u7a0bx2-3x+3=0\u7684\u89e3\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u3001 B\u3001 C\u3001 D\u3001\u65e0\u5b9e\u6839
7\uff0e \u65b9\u7a0b2x2-0.15=0\u7684\u89e3\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u3001x= B\u3001x=-
C\u3001x1=0.27, x2=-0.27 D\u3001x1=, x2=-
8\uff0e \u65b9\u7a0bx2-x-4=0\u5de6\u8fb9\u914d\u6210\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\u540e\uff0c\u6240\u5f97\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u3001(x-)2= B\u3001(x- )2=-
C\u3001(x- )2= D\u3001\u4ee5\u4e0a\u7b54\u6848\u90fd\u4e0d\u5bf9
9\uff0e \u5df2\u77e5\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bx2-2x-m=0\uff0c\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u8be5\u65b9\u7a0b\u914d\u65b9\u540e\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\uff08 \uff09\u3002
A\u3001(x-1)2=m2+1 B\u3001(x-1)2=m-1 C\u3001(x-1)2=1-m D\u3001(x-1)2=m+1
\u7b54\u6848\u4e0e\u89e3\u6790
\u7b54\u6848\uff1a1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
\u89e3\u6790\uff1a
1\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u79fb\u9879\u5f97\uff1a(x-5)2=0\uff0c\u5219x1=x2=5,
\u6ce8\u610f\uff1a\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u4e0d\u8981\u8f7b\u6613\u9664\u4ee5\u4e00\u4e2a\u6574\u5f0f\uff0c\u53e6\u5916\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u5b9e\u6570\u6839\uff0c\u4e00\u5b9a\u662f\u4e24\u4e2a\u3002
2\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u4f9d\u9898\u610f\u5f97\uff1aa2+4a-10=11, \u89e3\u5f97 a=3\u6216a=-7.
3\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u4f9d\u9898\u610f\uff1a\u6709a+b+c=0, \u65b9\u7a0b\u5de6\u4fa7\u4e3aa+b+c, \u4e14\u5177\u4ec5\u6709x=1\u65f6\uff0c ax2+bx+c=a+b+c\uff0c\u610f\u5473\u7740\u5f53x=1
\u65f6\uff0c\u65b9\u7a0b\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u5fc5\u6709\u6839\u4e3ax=1\u3002
4\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b ax2+bx+c=0\u82e5\u6709\u4e00\u4e2a\u6839\u4e3a\u96f6\uff0c
\u5219ax2+bx+c\u5fc5\u5b58\u5728\u56e0\u5f0fx\uff0c\u5219\u6709\u4e14\u4ec5\u6709c=0\u65f6\uff0c\u5b58\u5728\u516c\u56e0\u5f0fx\uff0c\u6240\u4ee5 c=0.
\u53e6\u5916\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u5c06x=0\u4ee3\u5165\uff0c\u5f97c=0\uff0c\u66f4\u7b80\u5355\uff01
5\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u539f\u65b9\u7a0b\u53d8\u4e3a x2-3x-10=0,
\u5219(x-5)(x+2)=0
x-5=0 \u6216x+2=0
x1=5, x2=-2.
6\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u0394=9-4\u00d73=-3<0\uff0c\u5219\u539f\u65b9\u7a0b\u65e0\u5b9e\u6839\u3002
7\uff0e\u5206\u6790\uff1a2x2=0.15
x2=
x=\u00b1
\u6ce8\u610f\u6839\u5f0f\u7684\u5316\u7b80\uff0c\u5e76\u6ce8\u610f\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u65f6\uff0c\u4e0d\u8981\u4e22\u6839\u3002
8\uff0e\u5206\u6790\uff1a\u4e24\u8fb9\u4e58\u4ee53\u5f97\uff1ax2-3x-12=0\uff0c\u7136\u540e\u6309\u7167\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u914d\u65b9\uff0cx2-3x+(-)2=12+(- )2\uff0c
\u6574\u7406\u4e3a\uff1a(x-)2=
\u65b9\u7a0b\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u7b49\u5f0f\u6027\u8d28\u53d8\u5f62\uff0c\u5e76\u4e14 x2-bx\u914d\u65b9\u65f6\uff0c\u914d\u65b9\u9879\u4e3a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570-b\u7684\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\u3002
9\uff0e\u5206\u6790\uff1ax2-2x=m, \u5219 x2-2x+1=m+1
\u5219(x-1)2=m+1.
\u4e2d\u8003\u89e3\u6790
\u8003\u9898\u8bc4\u6790
1\uff0e\uff08\u7518\u8083\u7701\uff09\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u662f\uff08 \uff09
\uff08A\uff09 \uff08B\uff09 \uff08C\uff09 \u6216 \uff08D\uff09 \u6216
\u8bc4\u6790\uff1a\u56e0\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u6240\u4ee5\u7528\u6392\u9664\u6cd5\uff0c\u6392\u9664A\u3001B\u9009\u9879\uff0c\u518d\u7528\u9a8c\u8bc1\u6cd5\u5728C\u3001D\u9009\u9879\u4e2d\u9009\u51fa\u6b63\u786e
\u9009\u9879\u3002\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u65b9\u6cd5\u89e3\u6b64\u65b9\u7a0b\u6c42\u51fa\u7ed3\u679c\u5bf9\u7167\u9009\u9879\u4e5f\u53ef\u4ee5\u3002\u9009\u9879A\u3001B\u662f\u53ea\u8003\u8651\u4e86\u4e00\u65b9\u9762\u5fd8\u8bb0\u4e86\u4e00\u5143
\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u662f\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u6240\u4ee5\u662f\u9519\u8bef\u7684\uff0c\u800c\u9009\u9879D\u4e2dx=\uff0d1\uff0c\u4e0d\u80fd\u4f7f\u65b9\u7a0b\u5de6\u53f3\u76f8\u7b49\uff0c\u6240\u4ee5\u4e5f\u662f\u9519\u8bef\u7684\u3002\u6b63\u786e\u9009\u9879\u4e3a
C\u3002
\u53e6\u5916\u5e38\u6709\u540c\u5b66\u5728\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u9664\u4ee5\u4e00\u4e2a\u6574\u5f0f\uff0c\u4f7f\u5f97\u65b9\u7a0b\u4e22\u6839\uff0c\u8fd9\u79cd\u9519\u8bef\u8981\u907f\u514d\u3002
2\uff0e\uff08\u5409\u6797\u7701\uff09\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u662f__________\u3002
\u8bc4\u6790\uff1a\u601d\u8def\uff0c\u6839\u636e\u65b9\u7a0b\u7684\u7279\u70b9\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff0c\u6216\u516c\u5f0f\u6cd5\u6c42\u89e3\u5373\u53ef\u3002
3\uff0e\uff08\u8fbd\u5b81\u7701\uff09\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u4e3a\uff08 \uff09
\uff08A\uff090 \uff08B\uff09\u20131 \uff08C\uff090\uff0c\u20131 \uff08D\uff090\uff0c1
\u8bc4\u6790\uff1a\u601d\u8def\uff1a\u56e0\u65b9\u7a0b\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u6240\u4ee5\u6709\u4e24\u4e2a\u5b9e\u6839\uff0c\u7528\u6392\u9664\u6cd5\u548c\u9a8c\u8bc1\u6cd5\u53ef\u9009\u51fa\u6b63\u786e\u9009\u9879\u4e3aC\uff0c\u800cA\u3001
B\u4e24\u9009\u9879\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u6839\u3002D\u9009\u9879\u4e00\u4e2a\u6570\u4e0d\u662f\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u3002\u53e6\u5916\u53ef\u4ee5\u7528\u76f4\u63a5\u6c42\u65b9\u7a0b\u6839\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
4\uff0e\uff08\u6cb3\u5357\u7701\uff09\u5df2\u77e5x\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u4e2a\u6839\u662f\u20132\uff0c\u90a3\u4e48k=__________\u3002
\u8bc4\u6790\uff1ak=4.\u5c06x=-2\u4ee3\u5165\u5230\u539f\u65b9\u7a0b\u4e2d\u53bb\uff0c\u6784\u9020\u6210\u5173\u4e8ek\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u7136\u540e\u6c42\u89e3\u3002
5\uff0e\uff08\u897f\u5b89\u5e02\uff09\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b(x-3)2=8\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u4e3a\uff08 \uff09
\uff08A\uff09x=3+2 \uff08B\uff09x=3-2
\uff08C\uff09x1=3+2 ,x2=3-2 \uff08D\uff09x1=3+2,x2=3-2
\u8bc4\u6790\uff1a\u7528\u89e3\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u76f4\u63a5\u6c42\u89e3\u5373\u53ef\uff0c\u4e5f\u53ef\u4e0d\u8ba1\u7b97\uff0c\u5229\u7528\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u89e3\uff0c\u5219\u5fc5\u6709\u4e24\u89e3\u53ca8\u7684\u5e73\u65b9
\u6839\uff0c\u5373\u53ef\u9009\u51fa\u7b54\u6848\u3002
\u8bfe\u5916\u62d3\u5c55
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff08quadratic equation of one variable\uff09\u662f\u6307\u542b\u6709\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u9879\u662f\u4e8c
\u6b21\u7684\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\u3002 \u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e3a
ax2+bx+c=0, (a\u22600)
\u5728\u516c\u5143\u524d\u4e24\u5343\u5e74\u5de6\u53f3\uff0c\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ca\u5176\u89e3\u6cd5\u5df2\u51fa\u73b0\u4e8e\u53e4\u5df4\u6bd4\u4f26\u4eba\u7684\u6ce5\u677f\u6587\u4e66\u4e2d\uff1a\u6c42\u51fa\u4e00\u4e2a\u6570\u4f7f\u5b83\u4e0e\u5b83
\u7684\u5012\u6570\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e \u4e00\u4e2a\u5df2\u7ed9\u6570\uff0c\u5373\u6c42\u51fa\u8fd9\u6837\u7684x\u4e0e\uff0c\u4f7f
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
\u4ed6\u4eec\u505a\u51fa( )2\uff1b\u518d\u505a\u51fa \uff0c\u7136\u540e\u5f97\u51fa\u89e3\u7b54\uff1a+ \u53ca - \u3002\u53ef\u89c1\u5df4\u6bd4\u4f26\u4eba\u5df2\u77e5\u9053\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21
\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u3002\u4f46\u4ed6\u4eec\u5f53\u65f6\u5e76\u4e0d\u63a5\u53d7 \u8d1f\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u8d1f\u6839\u662f\u7565\u800c\u4e0d\u63d0\u7684\u3002
\u57c3\u53ca\u7684\u7eb8\u8349\u6587\u4e66\u4e2d\u4e5f\u6d89\u53ca\u5230\u6700\u7b80\u5355\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u4f8b\u5982\uff1aax2=b\u3002
\u5728\u516c\u5143\u524d4\u30015\u4e16\u7eaa\u65f6\uff0c\u6211\u56fd\u5df2\u638c\u63e1\u4e86\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u3002
\u5e0c\u814a\u7684\u4e22\u756a\u56fe\uff08246-330\uff09\u5374\u53ea\u53d6\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u4e2a\u6b63\u6839\uff0c\u5373\u4f7f\u9047\u5230\u4e24\u4e2a\u90fd\u662f\u6b63\u6839\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u4ed6\u4ea6\u53ea\u53d6\u5176\u4e2d
\u4e4b\u4e00\u3002
\u516c\u5143628\u5e74\uff0c\u4ece\u5370\u5ea6\u7684\u5a46\u7f57\u6469\u7b08\u591a\u5199\u6210\u7684\u300a\u5a46\u7f57\u6469\u4fee\u6b63\u4f53\u7cfb\u300b\u4e2d\uff0c\u5f97\u5230\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bx2+px+q=0\u7684\u4e00\u4e2a\u6c42\u6839\u516c
\u5f0f\u3002
\u5728\u963f\u62c9\u4f2f\u963f\u5c14\uff0e\u82b1\u62c9\u5b50\u7c73\u7684\u300a\u4ee3\u6570\u5b66\u300b\u4e2d\u8ba8\u8bba\u5230\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5\uff0c\u89e3\u51fa\u4e86\u4e00\u6b21\u3001\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5176\u4e2d\u6d89\u53ca\u5230\u516d\u79cd
\u4e0d\u540c\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u4ee4 a\u3001b\u3001c\u4e3a\u6b63\u6570\uff0c\u5982ax2=bx\u3001ax2=c\u3001 ax2+c=bx\u3001ax2+bx=c\u3001ax2=bx+c \u7b49\u3002\u628a\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5206\u6210
\u4e0d\u540c\u5f62\u5f0f\u4f5c\u8ba8\u8bba\uff0c\u662f\u4f9d\u7167\u4e22\u756a\u56fe\u7684\u505a\u6cd5\u3002\u963f\u5c14\uff0e\u82b1\u62c9\u5b50\u7c73\u9664\u4e86\u7ed9\u51fa\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u51e0\u79cd\u7279\u6b8a\u89e3\u6cd5\u5916\uff0c\u8fd8\u7b2c\u4e00 \u6b21
\u7ed9\u51fa\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u89e3\u6cd5\uff0c\u627f\u8ba4\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u5e76\u6709\u65e0\u7406\u6839\u5b58\u5728\uff0c\u4f46\u5374\u672a\u6709\u865a\u6839\u7684\u8ba4\u8bc6\u3002\u5341\u516d\u4e16\u7eaa\u610f\u5927\u5229\u7684
\u6570\u5b66\u5bb6\u4eec\u4e3a\u4e86\u89e3\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u800c\u5f00\u59cb\u5e94\u7528\u590d\u6570\u6839\u3002
\u97e6\u8fbe\uff081540-1603\uff09\u9664\u5df2\u77e5\u4e00\u5143\u65b9\u7a0b\u5728\u590d\u6570\u8303\u56f4\u5185\u6052\u6709\u89e3\u5916\uff0c\u8fd8\u7ed9\u51fa\u6839\u4e0e\u7cfb\u6570\u7684\u5173\u7cfb\u3002
\u6211\u56fd\u300a\u4e5d\u7ae0\u7b97\u672f\uff0e\u52fe\u80a1\u300b\u7ae0\u4e2d\u7684\u7b2c\u4e8c\u5341\u9898\u662f\u901a\u8fc7\u6c42\u76f8\u5f53\u4e8e x2+34x-71000=0\u7684\u6b63\u6839\u800c\u89e3\u51b3\u7684\u3002\u6211\u56fd\u6570\u5b66
\u5bb6\u8fd8\u5728\u65b9\u7a0b\u7684\u7814\u7a76\u4e2d\u5e94\u7528\u4e86\u5185\u63d2\u6cd5\u3002
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
(1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、无实根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（甘肃省）方程的根是（ ）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（辽宁省）方程的根为（ ）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。 一般形式为
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中
之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公
式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种
不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
家还在方程的研究中应用了内插法。
对于一元二次方程，他的一般形式为ax^2+bx+c=0
1、直接开方法
对于x^2=C这样的方程，当c>=0的时候，方程的解为x=正负根号c
2、十字相乘法
将原方程因式分解得到a(x-x1)(x-x2)=0，此时方程的两个解就是x1,x2
3、公式法
当你没办法的时候，直接把方程各个系数带入如下公式
x=[-b加减根号(b^2-4ac)]/2a
可以算出通解
以上^2表示平方
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