A是3阶矩阵，α1，α2,α3,是3维线性无关的列向量，且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求 一题数学题：设A为三阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的三...
\u8bbeA\u662f3\u9636\u77e9\u9635\uff0c\u03b11\uff0c\u03b12\uff0c\u03b13\u662f3\u7ef4\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u5217\u5411\u91cf\uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3A\u03b11=\u03b11+2\u03b12+\u03b13\uff0cA\uff08\u03b11+\u03b12\uff09=2\u03b11+\u03b12+\u7531A\u03b11=\u03b11+2\u03b12+\u03b13\uff0cA\uff08\u03b11+\u03b12\uff09=2\u03b11+\u03b12+\u03b13\uff0cA\uff08\u03b11+\u03b12+\u03b13\uff09=\u03b11+\u03b12+2\u03b13\u53ef\u6c42\u5f97A\u03b12=\u03b11-\u03b12\uff0cA\u03b13=-\u03b11\u03b13\uff0c\u5219A\uff08\u03b11 \u03b12 \u03b13\uff09=11?12?10101\uff08\u03b11 \u03b12 \u03b13\uff09\uff0c\u800c\u03b11\uff0c\u03b12\uff0c\u03b13\u662f3\u7ef4\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u5217\u5411\u91cf\u5bf9\u4e24\u7aef\u53d6\u884c\u5217\u5f0f\u5f97|A|=-4
A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B
其中 B =
4 -6 0
-4 -1 0
3 1 0
记 P = (α1,α2,α3)
由 α1,α2,α3 线性无关, 所以P可逆.
所以有 P^-1AP = B.
|B-λE| = λ[(4-λ)(-1-λ)-24] = λ(λ^2-3λ-28)
= λ(λ-7)(λ+4).
所以 B 的特征值为 0,7,-4.
故与B相似的矩阵A的特征值为 0,7,-4.
下面求B的特征向量.
BX=0 的基础解系为: a1=(0,0,1)'
(B-7E)X=0 的基础解系为: a2=(14,-7,5)'
(B+4E)X=0 的基础解系为: a3=(12,16,-13)'.
设λ是B的特征值, x是B的属于λ的特征向量, 则 Bx=λx.
因为 P^-1AP = B, 所以 P^-1APx = Bx = λx
所以 A(Px) = λ(Px).
即有: 若x是B的属于特征值λ的特征向量, 则Px是A的属于特征值λ的特征向量
所以, A的线性无关的特征向量为
b1 = Pa1=(1,0,1)'.
b2 = Pa2=(19,-35,-2)'.
b3 = Pa3=(-1,-8,3)
结论:
A的属于特征值0的特征向量为: k1b1,k1为任意非零常数.
A的属于特征值7的特征向量为: k1b2,k2为任意非零常数.
A的属于特征值-4的特征向量为: k1b3,k3为任意非零常数.
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α3是一个特征向量，因为它满足(A-0I)α3=0
设x=kα1 + m α2 + n α3是一个特征向量,s是对应特征值，则
Ax = kAα1 + m Aα2 + n Aα3
= (4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2
很显然，n必须为0才满足
为了满足Ax=sx
(4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2 = skα1 + smα2
由于如果x是特征，(1/k)x也是，所以上式可以假定k=1
所以
4-6m = s
-4-m = sm
两式相除得到
(4-6m)m = -4-m
6m^2 -5m -4 = 0
(2m+1)(m-4) =0
m=-1/2, m=4
带入上门式子可以得到两个特征向量，加上a3即可
绛旓細鎵浠 A(Px) = 位(Px).鍗虫湁: 鑻鏄疊鐨勫睘浜庣壒寰佸嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺, 鍒橮x鏄疉鐨勫睘浜庣壒寰佸嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺 鎵浠, A鐨勭嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺涓 ( 淇敼鐨勮繖閲)b1 = Pa1=(伪1,伪2,伪3)(0,0,1)' = 伪3.b2 = Pa2=(伪1,伪2,伪3)(14,-7,5)' = 14伪1-7伪2+5伪3.b3 = Pa3=(...
绛旓細4 -6 0 -4 -1 0 3 1 0 璁 P = (伪1,伪2,伪3)鐢 伪1,伪2,伪3 绾挎ф棤鍏, 鎵浠鍙.鎵浠ユ湁 P^-1AP = B.|B-位E| = 位[(4-位)(-1-位)-24] = 位(位^2-3位-28)= 位(位-7)(位+4).鎵浠 B 鐨勭壒寰佸间负 0,7,-4.鏁呬笌B鐩镐技鐨鐭╅樀A鐨勭壒寰佸间负 0,7,-...
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