如何将二次型f的标准形化为规范形 二次型化为标准型的步骤。
\u6c42\u95ee\u5982\u4f55\u5c06\u4e8c\u6b21\u578b\u5316\u4e3a\u6807\u51c6\u5f62\uff0c\u6025\u6c42\uff01\uff01\uff01\u5199\u51fa\u4e8c\u6b21\u578bf\u7684\u77e9\u9635\u4e4b\u540e\uff0c\u5148\u6c42\u51fa\u4e8c\u6b21\u578bf \u7684\u6240\u6709\u7279\u5f81\u503c\u548c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u518d\u5c06\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u5355\u4f4d\u6b63\u4ea4\u5316\u3002
\u8fdb\u4e00\u6b65\u8fdb\u884c\u5355\u4f4d\u5316
\u7531\u8fd9\u4e9b\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7ec4\u6210\u7684\u77e9\u9635Q\u5c31\u53ef\u4ee5\u5c06A\u5bf9\u89d2\u5316
\u4e8c\u6b21\u578b\u5c31\u5316\u4e3a\u6807\u51c6\u578b\u4e86
\u8fd9\u91cc\u7684\u4e09\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u4e3a2\uff0c1\uff0c1
\u90a3\u4e48\u6807\u51c6\u578bf=2y1^2 +y2^2 +y3^2\u800c\u89c4\u8303\u578b\u7684\u610f\u601d\u5c31\u662f\u7279\u5f81\u503c\u7684\u6b63\u8d1f\u53f7\uff0c\u5373\u6b63\u8d1f\u60ef\u6027\u6307\u6570\u8fd9\u91cc\u7684\u4e09\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u5927\u4e8e0\uff0c
\u90a3\u4e48\u5316\u4e3a\u89c4\u8303\u578bf=z1^2+z2^2+z3^2
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1b
\u5b9a\u4e49
\u8bbeV\u662f\u5728\u4ea4\u6362\u73afR\u4e0a\u7684\u6a21\uff1bR\u7ecf\u5e38\u662f\u57df\u6bd4\u5982\u5b9e\u6570\uff0c\u5728\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u4e0bV\u662f\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u3002 [1]
\u6620\u5c04Q:V\u2192R\u88ab\u79f0\u4e3a\u5728V\u4e0a\u7684\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982\u679c
Q(av) =aQ(v)\u5bf9\u4e8e\u6240\u6709 \u548c \uff0c\u5e76\u4e14
2B(u,v) =Q(u+v) −Q(u) −Q(v)\u662f\u5728V\u4e0a\u7684\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0f\u3002
\u8fd9\u91cc\u7684B\u88ab\u79f0\u4e3a\u76f8\u4f34\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0f\uff1b\u5b83\u662f\u5bf9\u79f0\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0f\u3002\u5c3d\u7ba1\u8fd9\u662f\u975e\u5e38\u4e00\u822c\u6027\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u7ecf\u5e38\u5047\u5b9a\u8fd9\u4e2a\u73afR\u662f\u4e00\u4e2a\u57df\uff0c\u5b83\u7684\u7279\u5f81\u4e0d\u662f2\u3002
V\u7684\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20u\u548cv\u88ab\u79f0\u4e3a\u6b63\u4ea4\u7684\uff0c\u5982\u679cB(u,v)=0\u3002
\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0fB\u7684\u6838\u7531\u6b63\u4ea4\u4e8eV\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20\u7ec4\u6210\uff0c\u800c\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0fQ\u7684\u6838\u7531B\u7684\u6838\u4e2d\u7684\u6709Q(u)=0\u7684\u6240\u6709\u5143\u7d20u\u7ec4\u6210\u3002 \u5982\u679c2\u662f\u53ef\u9006\u7684\uff0c\u5219Q\u548c\u5b83\u7684\u76f8\u4f34\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0fB\u6709\u540c\u6837\u7684\u6838\u3002
\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0fB\u88ab\u79f0\u4e3a\u975e\u5947\u5f02\u7684\uff0c\u5982\u679c\u5b83\u7684\u6838\u662f0\uff1b\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0fQ\u88ab\u79f0\u4e3a\u975e\u5947\u5f02\u7684\uff0c\u5982\u679c\u5b83\u7684\u6838\u662f0\u3002
\u975e\u5947\u5f02\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0fQ\u7684\u6b63\u4ea4\u7fa4\u662f\u4fdd\u6301\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0fQ\u7684V\u7684\u81ea\u540c\u6784\u7684\u7fa4\u3002
\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0fQ\u88ab\u79f0\u4e3a\u8ff7\u5411\u7684\uff0c\u5982\u679c\u6709V\u4e2d\u7684\u975e\u96f6\u7684v\u4f7f\u5f97Q(v)=0\u3002\u5426\u5219\u5b83\u79f0\u4e3a\u975e\u8ff7\u5411\u7684\u3002\u4e8c\u6b21\u7a7a\u95f4\u7684\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u6216\u5b50\u7a7a\u95f4\u4e5f\u53ef\u4ee5\u88ab\u79f0\u4e3a\u8ff7\u5411\u7684\u3002\u5982\u679cQ(V)=0\u5219Q\u88ab\u79f0\u4e3a\u5b8c\u5168\u5947\u5f02\u7684\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1b\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e8c\u6b21\u578b
1\u3001\u542b\u5e73\u65b9\u9879\u7684\u60c5\u5f62
\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u5316\u4e8c\u6b21\u578bf(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3\u4e3a\u6807\u51c6\u5f62
\u89e3: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--\u628a\u542bx1\u7684\u96c6\u4e2d\u5728\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5e73\u65b9\u9879\u4e2d, \u540e\u9762\u591a\u9000\u5c11\u8865
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--\u7136\u540e\u540c\u6837\u5904\u7406\u542bx2\u7684\u9879
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2\u3001\u4e0d\u542b\u5e73\u65b9\u9879\u7684\u60c5\u5f62
\u6bd4\u5982 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
\u4ee4 x1=y1+y2, x2=y1-y2
\u4ee3\u5165\u540e\u5c31\u6709\u4e86\u5e73\u65b9\u9879, \u7ee7\u7eed\u6309\u7b2c\u4e00\u79cd\u60c5\u5f62\u5904\u7406
3\u3001\u7279\u5f81\u503c\u65b9\u6cd5
\u5199\u51fa\u4e8c\u6b21\u578b\u7684\u77e9\u9635
\u6c42\u51fa\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c
\u6c42\u51fa\u76f8\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf
\u77e9\u9635\u534a\u6b63\u5b9a\u548c\u6b63\u5b9a\u5224\u5b9a\uff1a
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u6b63\u5b9a
A\u5408\u540c\u4e8e\u5355\u4f4d\u77e9\u9635
A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u5927\u4e8e0
X'AX\u7684\u6b63\u60ef\u6027\u6307\u6570 = n
A\u7684\u987a\u5e8f\u4e3b\u5b50\u5f0f\u90fd\u5927\u4e8e0
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u534a\u6b63\u5b9a
A\u5408\u540c\u4e8e\u5206\u5757\u77e9\u9635(Er,O; O,O) , r<n
A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e0, \u4e14\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u7b49\u4e8e0
X'AX\u7684\u6b63\u60ef\u6027\u6307\u6570 p < n.
就是在实数范围内把系数化成1。
如
f = 2x1^2 - 3x2^2
令 y1= √2x1, y2=√3x2
则有 f =y1^2 - y2^2
写出二次型f的矩阵之后，先求出二次型f的所有特征值和特征向量再将特征向量单位正交化。
进一步进行单位化，由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了
这里的三个特征值为2，1，1
那么标准型f=2y1^2 +y2^2 +y3^2
而规范型的意思就是特征值的正负号，即正负惯性指数这里的三个特征值都大于0，那么化为规范型f=z1^2+z2^2+z3^2
扩展资料：
二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。
注意对于任何向量u∈V
2Q(u) =B(u,u)
所以如果2在R中是可逆的（在R是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式B恢复二次形式，通过Q(u) =B(u,u)/2当2是可逆的时候，这给出在V上的二次形式和V上的双线性形式之间的一一映射。如果B是任何对称双线性形式，则B(u,u)总是二次形式。
所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式B（u,u）。
参考资料来源：百度百科-二次型
就是在实数范围内把系数化成1. 如
f = 2x1^2 - 3x2^2
令 y1= √2x1, y2=√3x2
则有 f =y1^2 - y2^2
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