求问高等代数的一道基础题？ 一道关于高等代数（线性代数）方面的基础解系的题目
\u95ee\u4e00\u9053\u9ad8\u7b49\u4ee3\u6570\u9898\uff0c\u6c42\u77e9\u9635\u7684\u9006\u77e9\u9635\uff0c\u5e94\u8be5\u600e\u4e48\u505a\u5462\uff1f\u6c42\u6b65\u9aa4\uff0c\u8c22\u8c22\u5566\u5230\u5e95\u5e94\u8be5\u600e\u4e48\u6837\u53bb\u6c42\u9006\u77e9\u9635\u624d\u597d\u5462\uff1f
\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\u662f\u5bf9\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u800c\u8a00\u7684, \u9898\u76ee\u5e94\u8be5\u4e3a:
\u82e5a1,a2,a3\u4e3aAx=0\u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\uff0c\u5219a1+a2,a2+a3,a3+a1\u4e5f\u662fAx=0\u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb
\u8bc1\u660e\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u662f\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\u9700\u8bc1:
1. \u90fd\u662f\u89e3
2. \u7ebf\u6027\u65e0\u5173
3. \u5411\u91cf\u4e2a\u6570\u8fbe\u5230\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\u6240\u542b\u5411\u91cf\u4e2a\u6570, \u5373 n-r(A)
3'. \u4efb\u4e00\u89e3\u5411\u91cf\u53ef\u7531\u5b83\u7ebf\u6027\u8868\u793a
1.\u7531\u4e8e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u89e3\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u4ecd\u662f\u89e3, \u6240\u4ee5 a1+a2,a2+a3,a3+a1\u90fd\u662fAx=0\u7684\u89e3
2.\u7531 (a1+a2,a2+a3,a3+a1) = (a1,a2,a3)B
B =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
|B| = 2, \u6240\u4ee5B\u53ef\u9006
\u6240\u4ee5 a1+a2,a2+a3,a3+a1\u4e0ea1,a2,a3\u7b49\u4ef7
\u6240\u4ee5 r(a1+a2,a2+a3,a3+a1) = r(a1,a2,a3)=3
\u6545 a1+a2,a2+a3,a3+a1\u7ebf\u6027\u65e0\u5173, \u4e14\u4efb\u4e00\u89e3\u5411\u91cf\u53ef\u7531\u5b83\u7ebf\u6027\u8868\u793a.
\u6240\u4ee5 a1+a2,a2+a3,a3+a1\u4e5f\u662fAx=0\u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb.
\u6709\u95ee\u9898\u8bf7\u6d88\u606f\u6211\u6216\u8ffd\u95ee
\u641e\u5b9a\u5c31\u91c7\u7eb3 ^_^
既然对任意向量都有XTAX=0，那么对特殊的向量，当然也成立。
于是取特殊向量e1,e2,…,en,代入也有
eiTAei=0
直接计算可得aii=0
即矩阵A的主对角线上的元素都为0。
同时，用向量ei+ej代入，有
(ei+ej)TA(ei+ej)=0
直接计算可得
eij+eji=0即eij=-eji
可见以主对角线对称的元素互为相反数。
故矩阵A为反对称矩阵。
绛旓細棰樼洰鐨勫厖鍒嗘ф槸鎸囧浠绘剰鐨勫悜閲廥锛岄兘鏈塜TAX=0锛屽垯鐭╅樀A鏄弽瀵圭О鐭╅樀銆傛棦鐒跺浠绘剰鍚戦噺閮芥湁XTAX=0锛岄偅涔堝鐗规畩鐨勫悜閲忥紝褰撶劧涔熸垚绔嬨備簬鏄彇鐗规畩鍚戦噺e1,e2,鈥,en,浠ｅ叆涔熸湁 eiTAei=0 鐩存帴璁＄畻鍙緱aii=0 鍗崇煩闃礎鐨勪富瀵硅绾夸笂鐨勫厓绱犻兘涓0銆傚悓鏃讹紝鐢ㄥ悜閲廵i+ej浠ｅ叆锛屾湁 (ei+ej)TA(ei+ej)=0 鐩存帴璁...
绛旓細璇佹槑涓涓悜閲忕粍鏄鍩虹瑙ｇ郴闇璇:1. 閮芥槸瑙 2. 绾挎ф棤鍏 3. 鍚戦噺涓暟杈惧埌鍩虹瑙ｇ郴鎵鍚悜閲忎釜鏁, 鍗 n-r(A)3'. 浠讳竴瑙ｅ悜閲忓彲鐢卞畠绾挎ц〃绀 1.鐢变簬榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鐨勮В鐨勭嚎鎬х粍鍚堜粛鏄В, 鎵浠 a1+a2,a2+a3,a3+a1閮芥槸Ax=0鐨勮В 2.鐢 (a1+a2,a2+a3,a3+a1) = (a1,a2,a3)B B =...
绛旓細杩欎釜涓嶄竴瀹. 浠呬粠璁板彿鏈韩鏉ョ湅, L杩欎釜璁板彿琛ㄧずV鏄痑1,a2,a3鈥︹n鎵鏈夌殑绾挎х粍鍚堢殑鍏ㄤ綋(鏇村父鐢ㄧ殑璁板彿鏄痵pan), 浣嗘病鏈夐澶栨彁鍒癮1,a2,a3鈥︹n鏄惁绾挎ф棤鍏, 鎵浠ヤ笉鑳介粯璁ゅ畠浠槸绾挎ф棤鍏崇殑.
绛旓細杩欑閮芥槸鍩虹闂 鍓嶄竴棰, 鐢℅auss娑堝幓娉曞緱鍒 A=LU= 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Ax=0 <=> Ux=0, 瑙ｇ┖闂存槸span{[1,-1,1]^T}, 鎵浠er(A)=span{蔚1-蔚2+蔚3} A鐨勫垪鏄疞鐨勫墠涓ゅ垪(涔熷氨鏄疉鐨1,3鍒)鐨勭嚎鎬х粍鍚, 鎵浠mage(A)=span{蔚1,蔚3} 鍚庝竴...
绛旓細鍥犱负AB=0锛屾墍浠鐨勬瘡涓鍒楅兘鏄嚎鎬ф柟绋嬬粍AX=0鐨勮В銆傝屾牴鎹嚎鎬ф柟绋嬬粍鐞嗚锛孉X=0鐨鍩虹瑙ｇ郴涓嚎鎬ф棤鍏崇殑瑙ｇ殑涓暟锛堟垨鑰呰瑙ｇ┖闂寸殑缁存暟锛夆墹 n-r(A)銆傝孊鐨勫垪鍚戦噺缁勬槸瑙ｇ┖闂寸殑涓閮ㄥ垎锛屾墍浠鐨勫垪鍚戦噺缁勪腑鐨勬瀬澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍涓殑鍚戦噺涓暟(灏辨槸绉﹔(B))涓瀹氣墹鍩虹瑙ｇ郴涓嚎鎬ф棤鍏崇殑瑙ｇ殑涓暟锛屼篃...
绛旓細浣犻偅涓В娉曞墠涓よ淇濈暀 鐒跺悗鍦ㄧ浜岃鐨勫熀纭涓婁箻涓夾^r鍙緱k0=0 鍦ㄧ浜岃鐨勫熀纭涓婁箻涓夾^{r-1}鍙緱k1=0 ...渚濇鎺ㄥ嚭鎵鏈夌殑ki=0
绛旓細绗紙2锛夐 r(A)=3 璇存槑鐩稿簲榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鐨勫熀纭瑙ｇ郴涓紝鍙湁1涓В鍚戦噺銆傝屾樉鐒段₂-伪₃=(伪₁+伪₂)-(伪₁+伪₃) = (2,2,2,2)T鏄竴涓熀纭瑙ｇ郴 鑰岀敱浜幬₁锛屛₂锛屛₃閮芥槸鐗硅В锛屽彇鍏朵腑涓涓紝鍔犱笂浠绘剰鍊嶆暟鐨勫熀纭瑙ｇ郴锛...
绛旓細鍐欏嚭E锛孉= 2 2 3 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 2 1 0 0 1 r1-2r2锛宺3+r2 ~0 4 3 1 -2 0 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 r1-3r3 ~0 1 0 1 -5 -3 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 r2+r1锛宺3-r1锛屼氦鎹㈣娆″簭 ~1 0 0 1 -4 -3 0 1 0 1 -5 -3 ...
绛旓細鍙湁m=n鐨勬椂鍊欑粨璁烘墠浼氭櫘閬嶆垚绔, 鍥犱负鏈夎鍒楀紡涔樼Н瀹氱悊|C|=|A||B|=|D|.m>n鐨勬椂鍊檤C|=0, m<n鐨勬椂鍊檤D|=0, 缁撹涓鑸兘涓嶆垚绔.杩欑瀹屽叏鏄鍩虹鐭ヨ瘑, 濂藉ソ鐪嬫暀鏉.
绛旓細楂樼瓑浠ｆ暟鏄暟瀛︾殑涓涓噸瑕佸垎鏀紝涓昏鐮旂┒鍚戦噺銆佸悜閲忕┖闂达紙涔熷彨绾挎х┖闂达級銆佺嚎鎬ф槧灏勶紙涔熷彨绾挎у彉鎹級鍜屽畠浠殑鍩烘湰姒傚康銆楂樼瓑浠ｆ暟鐨勫熀纭鐭ヨ瘑鍖呮嫭浠ヤ笅鍑犱釜鏂归潰锛1.鐭╅樀锛氱煩闃垫槸楂樼瓑浠ｆ暟涓渶鍩烘湰鐨勬蹇典箣涓锛屽畠鍙互鐢ㄦ潵琛ㄧず绾挎ф柟绋嬬粍銆佺嚎鎬у彉鎹㈢瓑銆傜煩闃电殑杩愮畻鍖呮嫭鍔犳硶銆佸噺娉曘佷箻娉曘佽浆缃瓑銆2.琛屽垪寮忥細琛屽垪寮忔槸...
