初三数学几何题：三角形ABC内有一点D，DA=DC，BD=BA。∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时，∠DBC与∠ABC的关系？ 【初中数学】【几何】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=A...
\u5df2\u77e5\uff1a\u22bfABC\u4e2d\uff0c\u2220BAC=2\u2220ACB,\u70b9D\u662f\u22bfABC\u5185\u7684\u4e00\u70b9\uff0c\u4e14DA=DC,BD=BA,(1)\u5f53\u2220BAC=900\u65f6\uff0c\u4e14\u2220DAC=150\u65f6\uff0c\u5982\u56fe\u6c42\u4ec0\u4e48\uff1f
\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff0c\u53ea\u6709\u5f53\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u70b9\u4e3a\u5185\u5207\u5706\u7684\u5706\u5fc3\u65f6\uff0c\u5185\u70b9\u5230\u4e09\u4e2a\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u6700\u5c0f\u3002
BD=BA，D在以B为圆心，半径AB的圆上。
做DF垂直AB，交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC，直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB，斜边BD，角FBD = 30度。
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC！=90
假设∠BAC=60，就是一个C为直角的三角形。
容易得出角DBC=30度，也满足 关系∠ABC = 3∠DBC 。
因此推测这个关系始终成立。下面证明之。
【简写说明：x = ∠ACD，y = ∠DCB，z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB；x+z=∠CAB（因为x=∠CAD）】
因为 x+z = 2（x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y （延长AD，利用外角和关系）
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - （∠BCA+∠BAC）= 180- 3*（x+y）
由正弦定理得：
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = （1- 2siny*siny）sinx
（1）当sinx!=0时：
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2； y=30度、150度。
因3(x+y)<180,所以y=30度。
∠DBC = y-x = 30-x
∠ABC = 180- 3*（x+y）180 - 3x - 3*30 = 90 -3x = 3*（30-x）=3∠DBC。
（2）当sinx = 0时， x =0度、180度，说明ACD在一条直线上，D点不在三角形内。
（即不满足题目条件。实际上，即使D在AC中点，两角也满足3倍关系：此时角A=60度。）
这样就可以得出上述的结论了。
因为 DA=DC，所以D在AC的中垂线上。做DE垂直AC，E为AC的中点。
BD=BA，D在以B为圆心，半径AB的圆上。
做DF垂直AB，交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC，直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB，斜边BD，角FBD = 30度。
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC！=90
假设∠BAC=60，就是一个C为直角的三角形。
容易得出角DBC=30度，也满足 关系∠ABC = 3∠DBC 。
因此推测这个关系始终成立。下面证明之。
【简写说明：x = ∠ACD，y = ∠DCB，z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB；x+z=∠CAB（因为x=∠CAD）】
因为 x+z = 2（x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y （延长AD，利用外角和关系）
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - （∠BCA+∠BAC）= 180- 3*（x+y）
由正弦定理得：
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = （1- 2siny*siny）sinx
（1）当sinx!=0时：
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2； y=30度、150度。
因3(x+y)<180,所以y=30度。
∠DBC = y-x = 30-x
∠ABC = 180- 3*（x+y）180 - 3x - 3*30 = 90 -3x = 3*（30-x）=3∠DBC。
（2）当sinx = 0时， x =0度、180度，说明ACD在一条直线上，D点不在三角形内。
（即不满足题目条件。实际上，即使D在AC中点，两角也满足3倍关系：此时角A=60度。）
证明完毕。
试卷上有
？？？？？？？？
绛旓細BD=BA锛孌鍦ㄤ互B涓哄渾蹇冿紝鍗婂緞AB鐨勫渾涓娿傚仛DF鍨傜洿AB锛屼氦AB浜嶧鐐广1銆佲垹BAC=90 鈭燘AC=2鈭燗CB 鎵浠モ垹ACB =鈭燗BC = 45 绛夎叞鐩磋涓夎褰BC銆傛枩杈笲C锛岀洿瑙扐銆傞暱鏂瑰舰AEDF銆侫E = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD 鎵浠ョ洿瑙掍笁瑙掑舰FDB锛屾枩杈笲D锛岃FBD = 30搴︺傛墍浠 鈭燚BC = 45-30 =15...
绛旓細瑙ｏ細濡傚浘锛孉D,BE,CF灏單ABC鍒嗕负6涓皬涓夎褰锛屽垎鍒爣璁板畠浠殑闈㈢Н涓篠1,S2,S3,S4,S5,S6銆傚垯BC/BD=(S1+S2)/S1=(S1+S2+S3+S4+S5+S6)/(S1+S5+S6)=(S3+S4+S5+S6)/(S5+S6)锛(鏈鍚庝竴姝ユ槸鐢ㄧ殑鏄瓑姣旀ц川锛屼互涓嬩竴鏍)EA/CE=S4/S3=(S4+S5+S6)/(S1+S2+S3)=(S5+S6)/(S1+S2)锛...
绛旓細浣溾垹DAC鐨勮骞冲垎绾緼F锛屼氦CE浜嶧锛岃繛鎺F 鍒橣涓衡柍ADC鍐呭績锛屸埓DF骞冲垎鈭燗DC 璁锯垹ACE=鈭燘CE=a锛屽垯鈭燗DC=180掳-40掳-2a=140掳-2a 鈭粹垹ADF=70掳-a锛岃屸垹B=180掳-110掳-2a=70掳-2a 鈭粹垹AEC=鈭燘+鈭燘CE=70掳-2a+a=70掳-a 鍗斥垹ADF=鈭燗EC锛屸埓A锛孎锛孌锛孍鍥涚偣鍏卞渾 鍗斥垹DEC=鈭燚AF=鈭燚...
绛旓細璇佹槑 鍥犱负锛欰B/AD=BC/DE=AC/AE 鎵浠ワ細涓夎褰BC~涓夎褰DE 鎵浠ワ細瑙払AC=瑙扗AE 鎵浠ワ細瑙払AD=瑙扖AE 鍙堝洜涓猴細AB/AD=AC/AE 鎵浠ワ細AB/AC=AD/AE 鎵浠ワ細鈻矨BD鈭解柍ACE锛堣竟瑙掕竟鍏崇郴锛夋牴鎹1锛岀浉浼间笁瑙掑舰鐨勫搴旇鐩哥瓑 鎵浠ワ細鈭燗BD=鈭燗CE
绛旓細纭棰樼洰鏃犺鍚楋紵鎴戞庝箞姹傚緱AK•BN=瀹氬硷紝涓篈B鐨勫钩鏂广傝瘉鏄庡涓嬶細杩炴帴MC锛屽垯 瑙払MC=BAC=60搴︼紝瑙扐MC=ABC=60搴︼紝瑙払MN=AMK=ACB=60搴 浜庢槸 瑙扐BK=CBK-CBA=BNA+BMN-CBA=BNA+60-60=BNA 鍚岀悊 瑙払AN=AKB 鎵浠 涓夎褰BAN涓嶢KB鐩镐技 鎵浠 BA/AK=BN/AB, 浜庢槸AK•BN=AB骞虫柟 ...
绛旓細鍙﹀鎴戝凡缁忓皢缁撹鎺ㄥ箍鍒颁竴鑸紝妤间富濡傛灉浼氫娇鐢ㄥ嚑浣曠敾鏉垮彲浠ュ弬鑰冧竴涓嬨備篃鍙互鑷繁鍏堟濊冩帹骞匡紝姣旇緝绠绛
绛旓細鍥犱负涓夎褰ABD鐩镐技浜庝笁瑙掑舰CAE 鎵浠B/AC=BD/AE___1 AB/AC=AD/CE---2 灏1涓2鐩镐箻 鍙堝洜涓篈D=AE 鎵浠B/AC=BD/CE 甯屾湜閲囩撼
绛旓細AD=BE锛孌F=ED锛屸垹FDA=鈭燚EB=120掳锛屽彲浠ュ緱鍒扳柍FDA鈮屸柍DEB锛涚被浼煎彲寰椻柍EFC鈮屸柍FDA鈮屸柍DEB锛屾晠鏈夆垹A=鈭燘=鈭燙锛屽嵆鈭燗=鈭燘=鈭燙=60掳锛屽嵆鈻ABC涓虹瓑杈涓夎褰銆
绛旓細a=2c 鐢辨寮﹀畾鐞嗗彲寰 sinA=2sinC A-C=90掳 鎵浠in(C+90掳)=cosC=2sinC 鍥犱负(cosC)^2+(sinC)^2=1 鎵浠(cosC)^2+(cosC)^2/4=1 (cosC)^2=4/5 C蹇呯劧鏄攼瑙掞紝鎵浠osC>0,cosC=2鈭5/5
绛旓細锛1锛夈佸埄鐢ㄩ潰绉 杩炴帴AP S鈻ABC=S鈻矨BP+S鈻矨PC 鎵浠B*DP/2+AC*PE/2=AB*CF/2 鍥犱负AB=AC 鎵浠D+PE=CF锛堜綘鐪嬬湅鏄笉鏄墦閿欎簡锛孋F涓嶅彲鑳界瓑浜嶥P锛夛紙2锛夈丆F+PE=PD 鍚屾牱鍒╃敤闈㈢Н 杩炴帴AP 鍒╃敤S鈻矨BP=S鈻矨BC+S鈻矨CP锛堣瘉鏄庡悓锛1锛夛級...
