初三数学几何题:三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA。∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系? 【初中数学】【几何】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=A...
\u5df2\u77e5\uff1a\u22bfABC\u4e2d\uff0c\u2220BAC=2\u2220ACB,\u70b9D\u662f\u22bfABC\u5185\u7684\u4e00\u70b9\uff0c\u4e14DA=DC,BD=BA,(1)\u5f53\u2220BAC=900\u65f6\uff0c\u4e14\u2220DAC=150\u65f6\uff0c\u5982\u56fe\u6c42\u4ec0\u4e48\uff1f
\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff0c\u53ea\u6709\u5f53\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u70b9\u4e3a\u5185\u5207\u5706\u7684\u5706\u5fc3\u65f6\uff0c\u5185\u70b9\u5230\u4e09\u4e2a\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u6700\u5c0f\u3002
BD=BA,D在以B为圆心,半径AB的圆上。
做DF垂直AB,交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC,直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB,斜边BD,角FBD = 30度。
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC!=90
假设∠BAC=60,就是一个C为直角的三角形。
容易得出角DBC=30度,也满足 关系∠ABC = 3∠DBC 。
因此推测这个关系始终成立。下面证明之。
【简写说明:x = ∠ACD,y = ∠DCB,z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB;x+z=∠CAB(因为x=∠CAD)】
因为 x+z = 2(x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y (延长AD,利用外角和关系)
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - (∠BCA+∠BAC)= 180- 3*(x+y)
由正弦定理得:
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = (1- 2siny*siny)sinx
(1)当sinx!=0时:
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2; y=30度、150度。
因3(x+y)<180,所以y=30度。
∠DBC = y-x = 30-x
∠ABC = 180- 3*(x+y)180 - 3x - 3*30 = 90 -3x = 3*(30-x)=3∠DBC。
(2)当sinx = 0时, x =0度、180度,说明ACD在一条直线上,D点不在三角形内。
(即不满足题目条件。实际上,即使D在AC中点,两角也满足3倍关系:此时角A=60度。)
这样就可以得出上述的结论了。
因为 DA=DC,所以D在AC的中垂线上。做DE垂直AC,E为AC的中点。
BD=BA,D在以B为圆心,半径AB的圆上。
做DF垂直AB,交AB于F点。
1、
∠BAC=90
∠BAC=2∠ACB
所以∠ACB =∠ABC = 45
等腰直角三角形ABC。斜边BC,直角A。
长方形AEDF。
AE = DF = 1/2 AC = 1/2 AB = 1/2 BD
所以直角三角形FDB,斜边BD,角FBD = 30度。
所以 ∠DBC = 45-30 =15度
∠ABC =45度
关系为∠ABC = 3∠DBC
2、∠BAC!=90
假设∠BAC=60,就是一个C为直角的三角形。
容易得出角DBC=30度,也满足 关系∠ABC = 3∠DBC 。
因此推测这个关系始终成立。下面证明之。
【简写说明:x = ∠ACD,y = ∠DCB,z=∠BAD】
【则 x+y=∠ACB;x+z=∠CAB(因为x=∠CAD)】
因为 x+z = 2(x+y)
所以 z = y+y+ x
z = ∠ADB = ∠DBC +x+x+y (延长AD,利用外角和关系)
所以 ∠DBC = y-x
∠ABC = 180 - (∠BCA+∠BAC)= 180- 3*(x+y)
由正弦定理得:
BC:BD=sin∠BDC:sin∠DCB=sin(180-(∠DBC+sin∠DCB)):sin y =sin(y-x+y):sin y
BC:AB=sin∠CAB:sin∠ACB= sin(z+x):sin(x+y)=sin(y+y+x+x):sin(x+y)
因为BD=AB
所以sin(y-x+y):sin y = sin(y+y+x+x):sin(x+y)
sin(y-x+y) / sin y = 2sin(y+x)cos(y+x) / sin(x+y)
2 cos(x+y) sin y = sin(2y-x)
2(cosx*cosy-sinx*siny)sin y = sin(2y)cosx - cos(2y)sinx
2cosxcosysiny - 2sinx*siny*siny = 2sinycosycosx - (1-2sin²y)sinx
2sinx*siny*siny = (1- 2siny*siny)sinx
(1)当sinx!=0时:
2sinysiny = 1-2sinysiny
sin²y=1/4 所以 siny = 正负1/2; y=30度、150度。
因3(x+y)<180,所以y=30度。
∠DBC = y-x = 30-x
∠ABC = 180- 3*(x+y)180 - 3x - 3*30 = 90 -3x = 3*(30-x)=3∠DBC。
(2)当sinx = 0时, x =0度、180度,说明ACD在一条直线上,D点不在三角形内。
(即不满足题目条件。实际上,即使D在AC中点,两角也满足3倍关系:此时角A=60度。)
证明完毕。
试卷上有
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