已知{an}是等比数列，其中a1=2,且a2,a3+1,a4成等差数列。求：1.{an}的通项 2.{an}前n项和 已知{an}是等比数列,a1=2,且a1,a3 +1,a4成...
\u5df2\u77e5{an}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0ca1=2\uff0c\u4e14a1\uff0ca3+1\uff0ca4\u6210\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0e\uff08I\uff09\u6c42\u6570\u5217{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\uff1b\uff08\u2161\uff09\u82e5bn=log2an\uff0c\uff08\u2160\uff09\u8bbe\u6570\u5217{an}\u7684\u516c\u6bd4\u4e3aq\uff0c\u5219a3\uff1da1?q2\uff1d2q2\uff0ca4\uff1da1?q3\uff1d2q3\uff0c\u2235a1\uff0ca3+1\uff0ca4\u6210\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u2234a1+a4=2\uff08a3+1\uff09\uff0c\u53732+2q3=2\uff082q2+1\uff09\uff0c\u6574\u7406\u5f97q2\uff08q-2\uff09=0\uff0c\u2235q\u22600\uff0c\u2234q=2\uff0c\u2234an\uff1d2\u00d72n?1\uff1d2n\uff08n\u2208N*\uff09\uff0e\uff08\u2161\uff09\u2235bn\uff1dlog2an\uff1dlog22n\uff1dn\uff0c\u2234Sn\uff1db1+b2+\u2026+bn\uff1d1+2+\u2026+n\uff1dn(n+1)2\uff0e\u2234\uff08I\uff09\u6570\u5217{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0fan=2n\uff08n\u2208N*\uff09\uff0c\uff08\u2161\uff09\u6570\u5217{bn}\u7684\u524dn\u9879\u548csn\uff1dn(n+1)2\uff0e
\u8bbe\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u516c\u6bd4\u662fq
\u90a3\u4e48\uff1a
a1=2
a3=2q²
a4=2q³
a1,a3\u3000+1,a4\u6210\u7b49\u5dee\u6570\u5217
2q²+1-2=2q³-2q²-1
2q²=q³
q=2
\u6240\u4ee5\uff1a\u6570\u5217{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e3a\uff1aan=2*2^(n-1)=2^n
(1)做变换q=x+2/3，代入式中消去q^2项，化简有x^3+x/3-25/27=0。
(2)令x=u+v，则x^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=3uvx+(u^3+v^3)，移项有x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0
(3)我们比较两个关于x的一元三次方程，有-3uv=1/3，u^3+v^3=25/27。即(uv)^3=-1/729，u^3+v^3=25/27。
(4)令u^3和v^3是关于k的一元二次方程的两个根，则有k^2-25k/27-1/729=0。解此方程易得k=(25±√679)/54，故u=[(25+√679)/54]^(1/3)，v=[(25-√679)/54]^(1/3)。
(5)最后得到x的三个根，再换回q的三个根如下（一个实根，二个虚根）：
q1=x1+2/3=u+v+2/3=[(25+√679)/54]^(1/3)+[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
q2=x2+2/3=ωu+(ω^2)v+2/3=ω[(25+√679)/54]^(1/3)+(ω^2)[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
q3=x3+2/3=(ω^2)u+ωv+2/3=(ω^2)[(25+√679)/54]^(1/3)+ω[(25-√679)/54]^(1/3)+2/3
（注：ω=-1/2+i√3/2）
所以，{an}的通项为an=2q1^(n-1)或者an=2q2^(n-1)或者an=2q3^(n-1)。
2、由1已经求得的q和已知的a1便有相应的3个和Sn=2(1-q1^n)/(1-q1)或者Sn=2(1-q2^n)/(1-q2)或者Sn=2(1-q3^n)/(1-q3)。
经过验算的，答案无误。
a2+a4=2(a3+1） a1q+a1q3=2a1q^2+2 q^3-2q^2+q=2 q(q^2-2q+1)=2 q（q-1)^2=2 q=2 所以an=2^n 所以Sn=n（2+an)/2
思路如楼上，但解方程时步骤(1)中x的一次项系数为负，依此得最终答案中根号中的679改为的621。
注：此题与普通高考题难度不同，不适合作为模拟题，不必纠结，了解思路即可，佩服楼上！
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